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多项式计算器

指示： 使用此多项式方程计算器求解任何多项式方程,并显示所有步骤。请输入要解的多项式方程。

请注意,有些方程可能有复根,高阶方程可能无法用基本方法求解）。

多项式方程计算器

本多项式方程求解器可帮助您求解您提供的多项式方程,例如 "3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0",这是一个简单的多项式方程。二次方程或高次多项式方程,如 "x^5 - x^2 + 1 = 0 "等。

如果您没有在所提供的表达式中添加等号"=",计算器将自动添加"= 0",以便将其转换为等式。

一旦提供了有效的多项式方程,你就可以点击 "计算 "按钮,然后就会看到方程解的逐步计算过程。

多项式方程是代数方程的一种,也是最简单的一种,不属于线性方程组 .多项式方程虽然简单,但并不意味着很容易解,事实上,有时即使能解出来,也需要很长时间。

如何求解多项式？

虽然多项式是简单的表达式,但解多项式方程可能真的很复杂,尤其是对于多项式程度大于 2。

对于一元二次方程,只需使用一元二次方程公式即可求解。当然,你可能觉得背公式很难,但至少有一个公式。

对于三次方程（阶数 3）和四次方程（阶数 4）,可以使用一些非常巧妙的公式,但这些公式绝不容易使用或记忆。对于 5 度及以上的多项式方程,则没有公式。

这并不意味着我们不能找到多项式根但我们没有它的公式,而且公式也不存在（如果你对此感到好奇,这种结论是 18 世纪末现代数学的主要突破之一。

查找多项式方程解的步骤

要找到多项式方程的解,您可以遵循许多系统步骤,但要注意的是,您最终可能找不到任何解,特别是对于高次方程。

步骤1： 请注意,理论上,度数为 \(n\) 的多项式方程有 \(n\) 解。但这些解可能是实数,也可能是复数,而且超过 4 度就没有公式了
第2步： 试着把多项式项分解成因式。把所有的项放在方程的一边,然后想办法因式分解 .通过因式分解,您可以尝试找到每个因式的解,从而将问题降到更低的程度
第3步： 首先尝试使用有理零点定理 .具体做法是找出常数项的整数因数,再除以前导项（幂最大的一项）的因数。
第4步： 使用这些有理候选方程,逐个测试它们（可能有很多个）,希望能找到解。如果你碰巧找到了一个度数为 \(n\) 的方程的 \(n\) 解,那么你就完成了
第5步： 如果您找到了一个或多个有理根,但不是全部,那么您可以构建一个项 \(x - \alpha\) 的乘法,其中 \(\alpha\) 是找到的有理根。将这些项相乘,形成一个多项式,然后用这个由项 \(x - \alpha\) 组成的乘积除以原方程的多项式。要找到其余的根,需要找到除法结果的根（这些根的阶数将比原多项式的阶数低。

这听起来很难,老实说,确实很难。这是一个繁琐的过程,很可能需要大量的计算。这就是为什么您应该使用方程计算器因为这样可以节省很多时间,并将计算中出错的几率降到最低。

如何求多项式的方程？

解决多项式方程绝对不是一件小事。一般情况下你是做不到的,因为不存在求解所有多项式的一般方程。根据代数基本定理,我们确实知道度数为 \(n\) 的多项式方程有 \(n\) 解。

顾名思义,这些结果是一项重大成就,因为它准确地告诉了我们需要寻找多少解。例如,如果我们有一个方程 \(x^4 = x^6\),我们所得到的是一个度数为 6 的方程（因为它是可以找到的最高多项式幂）。因此,根据代数基本定理,我们知道有 6 个解。

现在,这可能很棘手,因为并非所有解都是实数,有些可能是复数,有些可能是重复解。如果我们有一个阶数为 \(n\) 的多项式,那么我们就知道有 \(n\) 解,这个定理的另一个显著特点是,多项式部分可以写为

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

其中 \(\alpha_1\),...,\(\alpha_n\) 是解。但有可能并非所有的解都是不同的。事实上,我们可以得到类似于

\[ p = (x - \alpha)^n\]

表明所有 n 个解均相同。

多项式的规则是什么？

步骤1： 多项式是表达式 \(x^k\) 的线性组合
第2步： 我们感兴趣的多项式是具有 \(x^k\) 项的多项式,只有 \(k\) 项是整数
第3步： 多项式是一种可以加,减,乘,除的简单函数。

请注意多项式运算是不封闭的。请注意,在进行多项式加减乘除时,结果总是多项式。但在多项式除法中,虽然除数和余数都是多项式,但结果不一定是多项式。检查多项式长除法算法 .

什么是多项式方程,如何求解？

多项式方程,简单地说,就是方程左右两边的项都是多项式的数学方程。通常,这些方程的右边都有一个常数,但情况并非总是如此。

例如,\(x^2 + 3x = 2\) 是一个多项式方程,因为方程两边的项都是多项式（常数 "2 "是 0 阶多项式）。

但是,\(x^2 + \sin(x) = 2x\) 不是多项式方程,因为左边的项不是多项式（因为有 \(\sin(x)\) 项）。

例题计算多项式方程的解

计算解决方案：\(x^2 = x^4\)

解决方案：

我们需要求解下面给出的多项式方程：

\[x^2=x^4\]

我们需要求解的方程只有一个变量,即 \(x\),因此目标是求解它。

请注意,给定多项式的阶数为 \(\displaystyle deg(p) = 4\),前导系数为 \(\displaystyle a_{4} = -1\),常数系数为 \(\displaystyle a_0 = 0\)。

由于 \(p(x)\) 中第一个系数不为零的项是 \(x^2\),所以我们可以将这一项因式分解：

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

但括号中的项的度数为 2,我们需要看看它是否能被进一步因式分解。

我们需要解下面给出的一元二次方程 \(\displaystyle -x^2+1=0\)。

对于形式为 \(a x^2 + bx + c = 0\) 的一元二次方程,根的计算公式如下：

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们需要求解的方程是 \(\displaystyle -x^2+1 = 0\),这意味着相应的系数是：

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是 \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\),是正值,所以我们知道方程有两个不同的实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

因此,我们发现。

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

在这种情况下,一元二次方程 \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \),有两个实数根,所以：

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

这样,原多项式就被因子化为 \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \),从而完成了因子化。

总结 :因此,我们得到的最终因式分解是。

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

利用因式分解过程找到的根是 \(0\),\(1\) 和 \(-1\) 。