Раскрытие выражений

Этот калькулятор расширения позволит вам расширить предоставленное вами выражение, показывая все соответствующие шаги. Это может быть относительно простое выражение, например 2(x-1)^2, или что-то более сложное, включающее некоторые сложные функции .

Как только будет предоставлено действительное выражение, все, что останется сделать, это нажать "Вычислить", чтобы получить результаты со всеми соответствующими шагами, показывающими, как прийти к окончательному ответу.

Алгебра дробей включает в себя преобразование дробей, такое как использование общего знаменателя, и использование основных арифметических правил. В целом, процесс вычисления может быть трудоемким, хотя его можно выполнять систематически, без особых проблем.

Что значит расширить выражение?

В значительной степени расширение выражения является своего рода противоположностью упрощение выражения , но это еще не все, поскольку термины запутаны друг с другом.

Например, если у вас есть выражение:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

как бы вы его расширили? Судя по значению этого слова, можно подумать, что вы пытаетесь сделать выражение как можно более большим, как можно более "расширенным". Можно сказать, что в этом свете мы имеем следующее расширение:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

Не знаю, как вам, а мне это кажется немного незавершенным: хотели бы вы оставить часть "2–3" без обработки? Я бы не стал, я бы вместо этого сделал

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

Итак, как вы можете видеть, в этом процессе расширения есть некоторое упрощение. Таким образом, не совсем верно, что расширение противоположно упрощению. Расширение выражения состоит из следующих действий: Правила PEMDAS распределять термины, а затем это включает в себя упрощение выражений часть.

Как расширить выражение или уравнение?

Процесс расширения, как мы упоминали ранее, заключается не только в том, чтобы сделать термин "максимально расширенным", но и в сочетании с распространением и упрощением терминов. Но также вам необходимо определиться с уровнем детализации, поскольку дистрибутивы — не единственные возможные расширения.

Например, мы можем думать об операциях с радикальные выражения . Предположим, вы имеете дело с каким-то простым выражением, например

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

Как бы вы это расширили? Вы бы сделали такое расширение?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

Хотя это допустимая операция, некоторые люди задаются вопросом о ее смысле, говоря: "Зачем вам расширять выражение, которое и так полностью упрощено". Но есть некоторые допустимые варианты использования, например, у вас может быть \(\sqrt y\) в знаменателе, и в этом случае у вас будет

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

что также приводит к следующему вопросу: какое расширение является "правильным": \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) или \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)?

Надеюсь, эти моменты помогли вам понять, что не существует одного уникального способа расширения выражения. При необходимости расширить термин следует выполнить следующие шаги:

• Шаг 1: Определите степень детализации вашего процесса расширения: будете ли вы расширять только за счет распределения или вы будете расширять такие термины, как радикалы, используя правила радикалов, тригонометрические выражения (используя тригонометрические тождества), экспоненциальные выражения (используя степенное правило), логарифмические выражения , и т. д.
• Шаг 2: После того, как вы определились с степенью детализации расширения выражения, которое вы возьмете на себя, вам необходимо следовать соответствующим правилам PEMDAS, которые будут регулировать такое расширение, обращая внимание на правила приоритета, установленные PEMDAS
• Шаг 3: После того, как ваше выражение будет расширено в соответствии с предыдущими шагами, вам необходимо при необходимости сгруппировать подобные термины, проведя "упрощение расширения".
• Шаг 4 : Готовый. Вы сейчас нашли расширенное выражение?

Большинство систем компьютерной алгебры (CAS), таких как Mathematica, Sage, Octave и т. д., используют разные критерии при расширении и упрощении, что часто приводит к разным конечным результатам.

Как разложить экспоненту?

Как мы упоминали ранее, все зависит от детализации расширения: то есть, какой тип выражения вы хотите расширить, только распределение умножений и сложений, или вы включите другие типы.

Например, в случае экспоненты это напрямую следует степенному правилу, которое гласит, что

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

что дает вам именно то расширение, которое вы ищете.

Как разложить многочлен?

Полиномы обычно расширяются с использованием свойства распределения. Например, вы можете захотеть разложить это произведение полиномов:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

Применяя распределительное свойство, находим, что

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

Как видите, разложение полиномов предполагает относительно простое использование правила дистрибутивности. Конечно, все может усложниться при смешивании разных типов выражений, но это расширить калькулятор выражений будет иметь дело не только с многочленами, но и с сочетанием различных типов выражений, с конкретными правилами, которые будут расширены.

Другой распространенный тип разложения полиномов основан на теорема о биномиальном разложении , в котором рассказывается, как расширить такую силу, как \((x+y)^n\). Как видите, сюжет усложняется, и все может стать действительно сложным.

Почему вы хотите расширить выражение?

Есть много причин, в том числе для исключения терминов, но не только это, поскольку мы часто можем расширить выражение, чтобы немного лучше понять его структуру и свойства.

Вопрос о как упростить выражение и как расширить выражение на первый взгляд могло бы показаться противоположным, но мы видели, что на самом деле они идут рука об руку и переплетаются.

Пример выражения в развернутом виде

Поместите следующее выражение в развернутой форме \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

Решение: Предположим, мы решили расширить все виды выражений, включая логарифмические уравнения. В этом случае выражение, с которым мы имеем дело, имеет дробный член, который невозможно разложить каким-либо осмысленным образом, но логарифмическую часть можно разложить как \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\). Итак, мы получаем

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

что приводит к выражению в развернутой форме.

Другие полезные калькуляторы алгебры

Упрощение и расширение выражений — это две взаимодополняющие операции, а не противоположные операции. Они нужны вам обоим, чтобы эффективно изучать алгебру. Например, вы можете захотеть использовать Уравнение Упростить Упрощать уравнение, что априори подразумевает упрощение решения уравнений, — практическая способность.

Действительно, Решение уравнений — одна из самых важных способностей в алгебре, и вам необходимо полностью владеть процессом расширения и упрощения, а также сокращения и увеличения. Все эти способности пригодятся.

Расширение может иметь решающее значение и в другом контексте, например, при использовании биномиальная теорема , поэтому, чтобы определить, какие компоненты термина должны, например, сопоставлять их один за другим с другим выражением.