Подробнее о функциональном составе

Этот калькулятор позволит вам вычислить функцию составьте \(f \circ g\) на основе двух функций \(f\) и \(g\), которые вы предоставите. Обратите внимание, что в общем случае \(f \circ g\) не то же самое, что \(g \circ f\), поэтому порядок имеет значение.

При расчете композиции \(f \circ g\) есть одна внутренняя функция \(g\) и одна внешняя функция \(f\), и вы меняете порядок, очень часто результат меняется.

Обратите внимание, что \(f\) и \(g\) должны быть достоверно определенными функциями, как, например, \(f(x) = \sqrt{x}\) и \(g(x) = 2x+1\), тогда получится, что \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{2x+1}\) .

Что такое составная функция?

Чтобы сформировать составную функцию, вы оцениваете одну функцию внутри другой функции. Пусть \(f\) и \(g\) - функции, составная функция определяется как

\[\displaystyle (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

Каковы шаги для нахождения составной функции?

• Шаг 1: Определите функции f и g, для которых вы будете выполнять композицию функций
• Шаг 2: Четко определите внутреннюю и внешнюю функцию. В данном случае мы предполагаем, что f - внешняя функция, а g - внутренняя формула
• Шаг 3: Составная функция определяется как (f◦g)(x) = f(g(x))

Вы можете упростить полученный результат f(g(x)), и на самом деле калькулятор упростит его за вас. Важно понимать, что вам может понадобиться ограничить область составной функции, чтобы она была хорошо определена.

Что такое туманный калькулятор

В данном случае туман - это не тот туман, который вы знаете, а композиция из f и g, записанная как \(f \circ g\).

Композиция функций будет настолько алгебраически сложной, насколько сложны составляющие функции. То есть, композиция простых функций приведет к простой составной функции, которую легко вычислить.

Использование этого композитного калькулятора

Преимущество использования данного калькулятора композита заключается в том, что вы получите не только вычисленную и упрощенную до простейших выражений композитную функцию, но и график композитной функции.

Цепочка составных функций

Композиция может применяться более чем к двум функциям. Например, рассмотрим функции \(f\), \(g\) и \(h\). Цепная композиция определяется как

\[\displaystyle (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \]

где порядок соединения выражений имеет значение.

Домен составной функции калькулятор

Обратите внимание, что область составной функции может отличаться от области двух исходных функций. Например, снова рассмотрим случай \(f(x) = \sqrt{x}\) и \(g(x) = 2x+1\). Область f - \([0, \infty)\), а область g - \((-\infty, \infty)\), но поскольку \((f\circ g)(x) = \sqrt{2x+1}\), область \(f\circ g\) - \([-\frac{1}{2}, \infty)\).

Пример: состав функции

Рассчитайте и постройте график: \((f \circ g)(x)\) для \(f(x) = \sqrt{x}\) и \(g(x) = 2x-1\).

Отвечать: Даны следующие функции: \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}\) и \(\displaystyle g(x)=2x-1\), для которых необходимо вычислить составную функцию \(f \circ g\).

По определению, составная функция \(f \circ g\) определяется как:

\[\begin{array}{ccl} f \circ g & = & f(g(x)) \\\\ & = & \sqrt{2x-1} \end{array}\]

В этом случае упрощать нечего, и тогда искомая составная функция - \(f \circ g(x)=\sqrt{2x-1}\).

Для составной функции \(f \circ g(x)=\sqrt{2x-1}\) на интервале \([-5, 5]\) получен следующий график:

Пример: вычисление составной функции

Рассчитайте и постройте график: \((f \circ g)(x)\) для \(f(x) = x^{3/2}\) и \(g(x) = x+2\). Является ли \((f \circ g)(x)\) в этом случае тем же самым, что и \((g \circ f)(x)\)?

Отвечать: Это функции, которые нам нужно соединить: \(\displaystyle f(x)=x^{3/2}\) и \(\displaystyle g(x)=x+2\).

По определению, составная функция \(f \circ g\) определяется как:

\[\begin{array}{ccl} f \circ g & = & f(g(x)) \\\\ & = & \left(x+2\right)^{3/2} \end{array}\]

В этом случае упрощать нечего, и тогда искомая составная функция - \(f \circ g(x)=\left(x+2\right)^{3/2}\).

Для составной функции \(f \circ g(x)=\left(x+2\right)^{3/2}\) на интервале \([-5, 5]\) получен следующий график:

Пример: пример расчета композитной функции

Найдите \((f \circ g)(x)\) для \(f(x) = x^2\) и \(g(x) = x-2\) и постройте график составной функции.

Отвечать: В данном примере нам необходимо работать с \(\displaystyle f(x)=x^2\) и \(\displaystyle g(x)=x-2\), что требует вычисления составной функции. \(f \circ g\).

Используя это определение, составная функция \(f \circ g\) определяется как:

\[\begin{array}{ccl} f \circ g & = & f(g(x)) \\\\ & = & \left(x-2\right)^2 \end{array}\]

Приведенное выше выражение необходимо упростить, для чего необходимо выполнить следующие действия:

Таким образом, после упрощения получается составная функция \(f \circ g(x)=x^2-4x+4\).

Сложенная функция \(f \circ g(x)=x^2-4x+4\) приводит к следующему графику на интервале \([-5, 5]\):

Больше калькуляторов по алгебре

Функции являются одним из основных элементов в алгебре и исчислении. Причина этого в том, что он воплощает способ установления взаимосвязи между двумя переменными x и y.

Многие приложения зависят от операций, которые вы выполняете, а также от график функции , который содержит всю информацию, "хранящуюся" в функции.