حاسبة التخصيم متعدد الحدود
تعليمات: استخدم حاسبة تحليل كثيرات الحدود هذه لتحليل أي كثيرة حدود تقدمها, مع عرض جميع الخطوات. الرجاء كتابة كثير الحدود الذي تريد تحليله في المربع أدناه.
الحدود الحدود
هذا النوع من الآلات الحاسبة متعددة الحدود هو نوع من الآلات الحاسبة متعددة الحدود التي ستسمح لك بوضع تعبير كضرب للعوامل غير القابلة للاختزال.
كل ما عليك فعله هو توفير كثيرة الحدود التي تريد تحليلها. يمكن أن تكون متعددة الحدود ذات درجة أقل والتي تأتي مبسطة بالفعل, مثل x^2 - 2x + 3, ويمكنك توفير كثيرات الحدود ذات الترتيب الأعلى التي تتطلب التبسيط, مثل x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.
بمجرد تقديم ساري المفعول التعبير متعدد الحدود , ما عليك فعله بعد ذلك هو الضغط على زر "احسب", وبعد ذلك سوف تحصل على جميع خطوات العملية الموضحة لك.
على الرغم من أنها من أبسط التعبيرات التي يمكن تحليلها, إلا أنه لا يزال من الصعب التعامل معها بشكل عام, خاصة مع كثيرات الحدود ذات الدرجة الأعلى من 5.
كيفية تحليل كثيرات الحدود
هناك طريقة منهجية واحدة فقط لتحليل كثيرات الحدود إلى عواملها, وهي إيجاد جذورها أو أصفارها. بمعرفة جذوره ستتمكن من إيجاد عوامله, وذلك بفضل النظرية الأساسية للجبر.
على سبيل المثال, بالنسبة لكثيرة الحدود من الدرجة 3, إذا كان هناك ثلاثة جذور \(x_1\) و \(x_2\) و \(x_3\), تنص النظرية الأساسية للجبر على أنه يمكن كتابة كثير الحدود على النحو التالي:
\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]لثابت \(a\), ونفس الشيء سيحدث لمتعددة الحدود من الدرجة \(n\), مع \(n\) جذور \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) و \(x_n\), والتي يمكن أن تكون مكتوبة على النحو التالي:
\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]ما هي خطوات تحليل كثيرات الحدود
- الخطوة 1: حدد كثيرة الحدود التي تحتاج إلى تحليلها, وقم بتوضيحها تبسيط التعبير لو اي
- الخطوة 2: أعثر على جذور متعدد الحدود , باستخدام الطريقة المناسبة, اعتمادا على درجة كثير الحدود
- الخطوه 3: إذا كان كثير الحدود من الدرجة 2, فاستخدم الصيغة التربيعية , وإلا استخدم نظرية الصفر العقلانية
- الخطوة 4: بمجرد العثور على جميع الجذور, يمكنك التعبير عن التحليل النهائي بـ \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \)
الشيء الجيد في العثور على جذور كثيرات الحدود هو أنه يمكنك البحث عن جذر واحد في كل مرة وجعل المشكلة بسيطة بشكل تدريجي. اسمحوا لي أن أوضح كيف:
لنفترض أن لديك كثيرة الحدود \(P(x)\) التي تريد العثور على جميع جذورها. لنفترض أن كثيرة الحدود لها الدرجة 5, لذا فأنت تتوقع 5 جذور, بعضها غير حقيقي (معقد).
لنفترض أنك وجدت جذرًا واحدًا بمجرد الحظ, ولنفترض أننا نسميه \(x_1\). بعد ذلك, من خلال النظرية الأساسية للجبر, تعلم أن \(x-x_1\) يقسم \(P(x)\), إذن \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), حيث \(Q(x)\) هي متعددة الحدود من الدرجة 4.
قد تتساءل "كيف أحصل على Q(x)؟؟". يتم الحصول على \(Q(x)\) البسيط باستخدام تقسيم طويل لتقسيم \(P(x)\) على \(x-x_1\). ونحن نعلم أن الباقي هو صفر لأن \(x_1\) هو جذر.
لا تنس أنك تحاول حل \(P(x) = 0\), لذا علينا الآن حل \(Q(x)(x-x_1)\), والذي تم اختصاره لحل \(Q(x) = 0\). والآن لديك آخر معادلة كثيرة الحدود , فقط هذا أبسط من الأصل. ثم تتابع هذا الأمر محاولًا العثور على حل واحد ثم تكرر العملية.
هل هناك طريقة أبسط لتحليل كثيرات الحدود بشكل كامل؟
ليس حقيقيًا. وفقًا للروايات, يمكنك التحليل عن طريق تحليل بعض الهياكل المحددة, أو يمكنك التحليل عن طريق التجميع إن أمكن, أو يمكنك استغلال بعض فرص العوامل الواضحة, على سبيل المثال, من الواضح أن تعبير مثل \(x^4 + x^2\) يفسح المجال لتحليل \(x^2\).
لكن كل هذه الحيل تعتمد على البنية, مما يعني أنها تحتاج إلى بنية مبسطة محددة للعمل عليها, وهي ليست بأي حال من الأحوال طرقًا عامة للتعامل مع المشكلة.
بالنسبة لكثيرات الحدود, توفر معادلة الشكل المحللة والجذور الفعلية نفس المعلومات, باستثناء الثابت, وهو الثابت الذي يتوافق مع الحد الرئيسي (المصطلح ذو الأس الأعلى).
لماذا عامل كثيرات الحدود
بسيطة جدًا, لأنها طريقة لحل المعادلات. لا يمكننا تخطي عملية تحليل كثيرات الحدود إلى عواملها لأنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعملية حل المعادلات كثيرة الحدود.
يحدث الشيء نفسه مع المعادلات الأكثر عمومية, حيث يمكن أن يساعد التحليل في تقسيم المعادلة المعقدة إلى معادلة أبسط. حل المعادلات يتم تقسيمها إلى مشاكل أبسط إذا كنت قادرًا على تحليل التعبيرات وتقليلها بشكل فعال.
مثال: استخدام التحليل متعدد الحدود لحل المعادلات
حل المعادلة التالية: \(x^5 = -x^3\)
حل: يتكون النهج المعتاد من وضع كل شيء على جانب واحد من المعادلة. إذا كان انعكاسك الأول هو إلغاء x^2 من طرفي المعادلة, فيرجى الامتناع عن ذلك لأنك ستفقد الحلول عند القيام بذلك. سوف ترى لماذا. لذلك نبدأ مثل هذا
\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]والآن يمكننا تحليل \(x^2\):
\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]الآن, نستخدم الحيلة القديمة التي تخبرنا أن \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), وهو ما يعني ذلك
\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]الآن بعد أن قمنا بتحليل الطرف الأيسر من المعادلة بالكامل, نرى أننا بحاجة إلى الحل
\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]لذلك نحن بحاجة إلى حل:
\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]والآن نستخدم عوامله لإيجاد الحلول, كل ما علينا فعله هو أن نجعل العوامل تساوي صفرًا. حلول المعادلة هي \(x = 0\) و \(x = -1\) و \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).
مزيد من الحاسبة الحدود
كثيرات الحدود هي كائنات مفيدة جدًا في الجبر, وحساب التفاضل والتكامل في الفيزياء, وهي بسيطة بما يكفي لاحتوائها على بعض النظريات العامة والمفيدة جدًا, مثل النظرية الأساسية للجبر (والتي تنص على أن جميع الحدود المعادلات كثير الحدود لديها العديد من الحلول المعقدة حسب درجتها).
ومع ذلك, فإن كثيرات الحدود صعبة بما يكفي لتزويدنا ببعضها المعادلات كثير الحدود و المتباينات متعددة الحدود التي لا يمكن حلها بالطرق الأولية, وسوف تحتاج إلى محاولة تقليل درجة كثيرة الحدود باستخدام التقسيم متعدد الحدود و ال نظرية الباقي .
لذا, عند التعامل مع كائنات أكثر تعقيدًا من كثيرات الحدود, فمن المعقول أن تعتقد أنك ستحتاج إلى الحاسبة عامل التي يمكنها اكتشاف الهياكل المعقدة وتطبيق الهويات المتنوعة للوصول إلى التخصيم المناسب, وفي نهاية المطاف, ليس من الممكن دائمًا.
