توسيع التعبيرات

ستسمح لك حاسبة التوسيع هذه بتوسيع التعبير الذي تقدمه, مع عرض جميع الخطوات ذات الصلة. يمكن أن يكون تعبيرًا بسيطًا نسبيًا مثل 2(x-1)^2, أو قد يكون شيئًا أكثر تعقيدًا يتضمن بعضًا منه وظائف مركبة .

بمجرد تقديم تعبير صالح, كل ما تبقى عليك فعله هو النقر فوق "احسب" للحصول على النتائج, مع عرض جميع الخطوات ذات الصلة, والتي توضح كيفية الوصول إلى الإجابة النهائية.

يتضمن الكسور الجبر تحويل الكسر مثل استخدام المقام المشترك , واستخدام القواعد الحسابية الأساسية.الكل في الكل , يمكن أن تكون عملية الحساب شاقة , على الرغم من أنه يمكن القيام به بشكل منهجي , دون مشكلة كبيرة.

ما هو معنى توسيع التعبير ؟

إلى حد كبير, توسيع التعبير هو نوع من العكس تبسيط التعبير ولكن هناك ما هو أكثر من ذلك, حيث أن المصطلحات متشابكة مع بعضها البعض.

على سبيل المثال, إذا كان لديك التعبير:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

كيف يمكنك توسيعه؟ بمعنى الكلمة, قد تعتقد أنك تحاول جعل التعبير كبيرًا قدر الإمكان, و"موسعًا" قدر الإمكان. في ضوء ذلك, يمكنك القول, لدينا التوسع التالي:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

لا أعرف عنك, ولكن بالنسبة لي يبدو هذا غير مكتمل بعض الشيء: هل تريد ترك الجزء "2 - 3" بدون معالجة؟ لن أفعل, سأفعل بدلاً من ذلك

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

وكما ترون, هناك القليل من التبسيط في عملية التوسع هذه. لذا, ليس صحيحًا تمامًا أن التوسيع هو عكس التبسيط. توسيع التعبير يتكون من التالي قواعد PEMDAS لتوزيع المصطلحات, ومن ثم فإنه ينطوي على أ تبسيط التعبيرات جزء.

كيف يمكنني توسيع تعبير أو معادلة؟

إن عملية التوسيع, كما ذكرنا من قبل, لا تتعلق فقط بجعل المصطلح "موسعًا قدر الإمكان", ولكنها مزيج من مصطلحات التوزيع والتبسيط. ولكن هناك أيضًا مستوى من التفاصيل التي تحتاج إلى اتخاذ قرار بشأنها, لأن التوزيعات ليست التوسعات الوحيدة الممكنة.

على سبيل المثال, يمكننا أن نفكر في العمليات مع تعبيرات جذرية . لنفترض أنك تتعامل مع بعض التعبيرات البسيطة مثل

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

كيف يمكنك توسيع ذلك؟ هل ستفعل هذا التوسع؟

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

على الرغم من أن هذه عملية صحيحة, إلا أن بعض الأشخاص قد يشككون في معناها قائلين "لماذا تقوم بتوسيع تعبير تم تبسيطه تمامًا بالفعل". ولكن هناك بعض الاستخدامات الصحيحة, على سبيل المثال, قد يكون لديك \(\sqrt y\) في المقام, وفي هذه الحالة سيكون لديك

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

مما يؤدي أيضًا إلى السؤال التالي, أيهما هو التوسعة "الصحيحة": \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) أم \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)؟

نأمل أن تكون هذه النقاط قد ساعدتك على إدراك أنه لا توجد طريقة فريدة لتوسيع التعبير. يجب عليك اتباع الخطوات التالية عند الحاجة إلى توسيع المصطلح:

• الخطوة 1: حدد مدى تفصيل عملية التوسيع الخاصة بك: هل ستتوسع عن طريق التوزيع فقط, أم ستوسع مصطلحات مثل الجذور باستخدام قواعد الجذور, والتعبيرات المثلثية (باستخدام المتطابقات المثلثية), والتعبيرات الأسية (باستخدام قاعدة القوة), التعبيرات اللوغاريتمية , إلخ.
• الخطوة 2: بمجرد اتخاذ قرار بشأن دقة توسيع التعبير الذي ستلتزم به, يتعين عليك اتباع قواعد PEMDAS المقابلة التي ستحكم هذا التوسع, مع الانتباه إلى قواعد الأولوية التي وضعتها PEMDAS
• الخطوه 3: بمجرد توسيع التعبير الخاص بك وفقًا للخطوات السابقة, ستحتاج إلى تجميع المصطلحات المتشابهة إذا لزم الأمر, وإجراء "تبسيط التوسيع".
• الخطوة 4 : مستعد. لقد وجدت الآن التعبير الموسع؟

تستخدم معظم أنظمة الجبر الحاسوبية حول (CAS) مثل Mathematica وSage وOctave وغيرها معايير مختلفة عند التوسع والتبسيط, مما يؤدي إلى نتائج نهائية مختلفة في كثير من الأحيان.

كيف تقوم بتوسيع الأسيات؟

كما ذكرنا من قبل, كل هذا يتوقف على دقة التوسيع: أي نوع التعبير الذي تريد توسيعه, فقط توزيع الضرب والإضافة, أو هل ستشمل أنواعًا أخرى.

بالنسبة لحالة الأس, على سبيل المثال, فهي تتبع مباشرة قاعدة القوة التي تنص على ذلك

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

مما يمنحك التوسع الذي تبحث عنه.

كيف يمكنك توسيع كثير الحدود؟

عادةً ما يتم توسيع كثيرات الحدود باستخدام خاصية التوزيع. على سبيل المثال, قد ترغب في توسيع هذا المنتج من كثيرات الحدود:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

وبتطبيق خاصية التوزيع نجد ذلك

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

كما ترون, توسيع كثيرات الحدود ينطوي على استخدام بسيط نسبيا لقاعدة التوزيع. من المؤكد أن الأمور قد تصبح أكثر تعقيدًا عند مزج أنواع مختلفة من التعبيرات, ولكن هذا توسيع حاسبة التعبير سوف يتعامل ليس فقط مع كثيرات الحدود ولكن أيضًا مع مجموعة من أنواع التعبير المختلفة, مع توسيع القواعد المحددة.

نوع شائع آخر من التوسع في كثيرات الحدود يعتمد على نظرية التوسع ذات الحدين والذي يخبرك بكيفية توسيع قوة مثل \((x+y)^n\). كما ترون, تكثفت الحبكة, ويمكن أن تصبح الأمور معقدة بالفعل.

لماذا تريد توسيع التعبير؟

هناك العديد من الأسباب, بما في ذلك إلغاء المصطلحات, ولكن ليس ذلك فحسب, حيث يمكننا في كثير من الأحيان توسيع التعبير لفهم بنيته وخصائصه بشكل أفضل قليلاً.

السؤال ل كيفية تبسيط التعبير و كيفية توسيع التعبير يمكن أن يبدوا للوهلة الأولى متضادين, لكننا رأينا أنهما يسيران جنبًا إلى جنب, ويتشابكان.

مثال للتعبير في شكل موسع

ضع التعبير التالي في شكل موسع \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

حل: لنفترض أننا قررنا توسيع جميع أنواع التعبيرات, بما في ذلك المعادلات اللوغاريتمية. في هذه الحالة, يحتوي التعبير الذي نتعامل معه على حد كسري لا يمكن توسيعه بأي طريقة ذات معنى, ولكن يمكن توسيع الجزء اللوغاريتمي كـ \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\). إذن وصلنا

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

مما يؤدي إلى التعبير في شكل موسع.

الآلات الحاسبة الجبر المفيدة الأخرى

إن تبسيط التعبيرات وتوسيعها هما عمليتان متكاملتان وليستا عمليتين متضادتين. أنت في حاجة إلى كليهما لإجراء الجبر على مستوى فعال. على سبيل المثال, قد ترغب في استخدام تبسيط المعادلة لتبسيط المعادلة, وهو ما يعني مسبقًا جعل المعادلات أسهل في الحل, وهي قدرة عملية.

بالفعل, حل المعادلات هي واحدة من أهم القدرات في الجبر, ويجب أن تكون لديك طلاقة كاملة في عملية التوسيع والتبسيط, وكذلك التخفيض والزيادة. كل هذه القدرات سوف تكون في متناول اليدين.

يمكن أن يكون التوسيع أمرًا بالغ الأهمية في سياق آخر, على سبيل المثال, عند استخدام نظرية ثنائية , وذلك لتحليل المكونات التي يجب على المصطلح, على سبيل المثال, مطابقتها واحدًا تلو الآخر مع تعبير آخر.