المحللين الجبر

الرسم البياني للوظيفة العكسية

تعليمات: استخدم هذا الرسم البياني للعثور على الرسم البياني للدالة العكسية للدالة التي تقدمها, مع عرض جميع الخطوات. يرجى تقديم الوظيفة التي تريدها للحصول على الرسم البياني للوظيفة العكسية في المربع أدناه.

كيفية معرفة ما إذا كانت الوظيفة قابلة للعكس

قبل الحصول على الرسم البياني للمعكوس لدالة معينة, عليك أن تعرف ما إذا كانت الدالة لها معكوس على الإطلاق. المعيار الرئيسي لوجود معكوس هو أن يكون واحد لواحد, مما يعني أن قيمة واحدة في النطاق لا يمكن أن تحتوي على قيمتين مرتبطتين (صور أولية).

من المحتمل أن الطلاب يفضلون عدم استخدام المصطلحات التقنية مثل "الصور" و"الصور الأولية", وعلى الرغم من أن هذه مفاهيم أساسية في نظرية الوظيفة, إلا أننا في هذه الحالة يمكننا استخدام اختبار رسومي بسيط لتقييم ما إذا كانت الوظيفة من واحد إلى واحد أم لا. واحد, وبالتالي, إذا كان بإمكانك العثور على معكوسه ورسمه بيانيًا.

اختبار الخط الأفقي

يشير اختبار الخط الأفقي إلى أنه لكي تكون الدالة واحدًا لواحد, فإن أي خط أفقي تقوم بإنشائه سوف يعبر الرسم البياني للدالة مرة واحدة على الأكثر. إذا تمكنت من العثور على خط أفقي واحد يعبر الرسم البياني للدالة المحددة أكثر من مرة, فإن الدالة ليست واحدة لواحد.

على سبيل المثال, الدالة الموضحة أدناه هي واحد لواحد, لأنه بغض النظر عن الخط الأفقي الذي نرسمه عليها, فإنه سيتقاطع مع الرسم البياني للدالة مرة واحدة بالضبط:

ولكن بعد ذلك, يوضح المثال التالي دالة ليست واحدًا لواحد, لأننا نرى خطًا أفقيًا يعبر خط الدالة مرتين (أكثر من مرة):

خطوات العثور على الرسم البياني العكسي

الخطوة 1: هناك طريقتان شائعتان: إحداهما الطريقة الرسومية, والأخرى الطريقة التحليلية
الخطوة 2: بالنسبة للطريقة الرسومية, عليك أولاً تطبيق اختبار الخط الأفقي والتأكد من اجتيازه, فهو واحد لواحد, والعكس موجود
الخطوه 3: بعد ذلك, قم برسم الخط y = x في الرسم البياني (خط مستقيم بزاوية 45 ^س درجات بالنسبة للمحور x
الخطوة 4: بعد ذلك, يمكنك ببساطة استخدام الخط y = x كـ "مرآة" وتعكس نقاط الرسم البياني الأصلي بالنسبة إلى "المرآة". الرسم البياني الذي تم الحصول عليه من خلال عملية النسخ هذه هو الرسم البياني للمعكوس
الخطوة 5: بالنسبة للطريقة التحليلية, عليك أولاً أن تقوم بالحسابات الجبرية العثور على معكوس : تبدأ بـ y = f(x) ثم تحل من أجل y.
الخطوة 6: إذا كان هناك حل واحد فقط فالمعكوس موجود وتكتبه x = g(y). بضبط أسماء المتغيرات, يمكنك تحديد الدالة العكسية \(f^{-1}\) رسميًا من حيث g
الخطوة 7: أخيرًا, قم برسم المعكوس الذي وجدته \(f^{-1}\) كما تفعل رسم بياني وظيفة عادة

عندما تحتاج إلى العثور على معكوس للرسم البياني, تكون كل من الطرق الرسومية والتحليلية جيدة, فقط الطريقة التحليلية لها ميزة, وهي أنك تحسب الدالة العكسية على طول العملية, بحيث ينتهي بك الأمر إلى الحصول على تعبير رياضي عنها, ليس فقط الرسم البياني لها.

لماذا الرسم البياني معكوس

هناك الكثير لماذا تفعل ذلك. أولاً, تعد الدالة العكسية في حد ذاتها عاملًا مهمًا جدًا في نظرية الوظيفة, حيث توضح الدالة كيفية المرور من x إلى ay, لذا فمن الطبيعي أن ترغب في معرفة آلية المرور من y إلى x, و هذا هو بالضبط ما توفره لك الدالة العكسية.

لذلك, يمكن للمرء أن يفكر في الدالة كخريطة ذات اتجاه واحد من النقطة "X" إلى النقطة "Y", وحساب الدالة العكسية يشبه تحديد خريطة واضحة للانتقال من "Y" إلى "X".

ومن ثم سيخبرك الرسم البياني للمعكوس بالكثير من المعلومات حول تلك الدالة العكسية: هل تتجه للأعلى, وكيف تتصرف.

كيف تساعدني حاسبة دالة الرسم البياني العكسي هذه؟

أولاً, ستقوم هذه الآلة الحاسبة بتحليل الدالة لمعرفة ما إذا كانت قابلة للعكس باستخدام الطريقة التحليلية, وإذا كان من الممكن العثور على مثل هذا المعكوس, فسوف تقوم برسم بياني لك.

العثور على معكوس ينطوي على حل معادلة , وهي ليست مهمة سهلة إلا إذا كنت تتعامل معها المعادلات الخطية أو المعادلات كثير الحدود ولكن بخلاف ذلك, يمكن أن تكون العملية معقدة للغاية أو حتى مستحيلة.

قد تقوم الآلات الحاسبة الأخرى بعملية مماثلة, ولكن من مميزاتها هذه الآلة الحاسبة هو أنه يقدم كافة خطوات العملية, مع شرح تفصيلي لها, حيثما أمكن ذلك.

مثال: العثور على الرسم البياني للمعكوس

رسم بياني معكوس لـ : \( y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{6}\)

حل:

لقد تم تزويدنا بالوظيفة التالية:

\[ y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{6}\]

ثم, من أجل العثور على معكوس الدالة المعطاة, نحتاج إلى حل \(x\) وتحديد ما إذا كان هناك حل أم لا. معادلة البداية هي

\[y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{6}\]

الخطوة 0: في هذه الحالة, نحتاج أولاً إلى تبسيط المعادلة الخطية المعطاة, وللقيام بذلك, نقوم بخطوات التبسيط التالية:

\( \displaystyle y-\left(\frac{2}{3}x-\frac{5}{6}\right) = 0\)

Multiplying by -1: \(-\left(\frac{-5}{6}+\frac{2}{3}x\right) = \frac{5}{6}-\frac{2}{3}x\)

\( \displaystyle \Rightarrow \,\, \,\,\)

\(\displaystyle y+\frac{5}{6}-\frac{2}{3}x = 0\)

حل المعادلة الخطية

وضع \(x\) على الجانب الأيسر و \(y\) والثابت على الجانب الأيمن الذي نحصل عليه

\[\displaystyle -\frac{2}{3}x = -y -\frac{5}{6}\]

الآن , حل \(x\), من خلال تقسيم جانبي المعادلة بواسطة \(-\frac{2}{3}\), يتم الحصول على ما يلي

\[\displaystyle x=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}y-\frac{\frac{5}{6}}{-\frac{2}{3}}\]

وتبسيط نحصل أخيرًا على ما يلي

\[\displaystyle x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{4}\]

ولذلك, فإن حل \(y\) لمعادلة خطية معينة يؤدي إلى \(x = \frac{3}{2}y+\frac{5}{4}\).

ولذلك, وبما أنه عند حل \(x\) نجد حلاً وهو حل واحد فقط, فقد وجدنا العكس.

تم العثور على الدالة العكسية

بناءً على العمل الموضح أعلاه, يمكن استنتاج أن الدالة العكسية هي:

\[f^{-1}(x) = \frac{3}{2}x+\frac{5}{4}\]

يمكن إظهار الدالة العكسية بيانياً كما يلي:

مثال: المزيد من الرسوم البيانية العكسية

هل يمكنك العثور على الرسم البياني العكسي لـ: \(y = x^2\)

حل: لا, لا يمكننا العثور على الرسم البياني العكسي لـ \(y = x^2\), لأن هذه الدالة لا تجتاز اختبار الخط الأفقي. هناك طريقة أخرى لرؤية ذلك وهي أنه عند حل \(x\) نحصل على \(x = \pm \sqrt y\), وبما أننا وجدنا حلين, فلا يوجد معكوس, وبالتالي لا يوجد رسم بياني معكوس.