求解器微积分

梯度计算器

指示： 使用此梯度计算器计算您提供的多元函数的偏导数向量,显示所有步骤。请在下面的表格框中键入多变量函数。

梯度计算器

这个带有步骤的梯度计算器将帮助您找到您提供的给定多元函数的梯度向量。此函数必须是具有 2 个或更多变量的有效可微分函数。

您提供的函数需要附带其变量名和函数的完整定义,例如 f(x, y) = x^2 + y^2 或 f(x,y,z) = xy+z*sin (xy)等

一旦提供了有效的多变量函数,剩下要做的就是单击"计算"按钮,以获得显示的所有步骤。

梯度表示多变量情况下导数的自然扩展,在这种情况下,变化率最好由向量而不是数字来定义。

什么是渐变

简单来说,梯度是一个包含多变量函数\(f\)的所有一阶偏导数的向量。那么,对于两个变量 \(f(x, y)\) 的函数,它的梯度将是一个二维向量 \(\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\)。

类似地,对于三个变量 \(f(x, y, z\) 的函数,其梯度将是一个 3 维向量 \(\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\),等等。

计算梯度的步骤

步骤1： 确定要使用的函数 f,并确定涉及的变量数量
第2步： 找到第一个订单部分衍生物关于每个变量
第 3 步： 将梯度构造为包含在步骤 2 中找到的所有那些一阶偏导数的向量

或者,如果可能,您可以在完成第 3 步后进行简化。然后,通过梯度,您可以了解什么是单变量函数的导数,在本例中是多变量函数。

渐变的应用

与单变量函数的情况相同,在寻找临界点时我们需要找到导数为零的点,对于多元函数,我们需要搜索梯度等于零的点以找到临界点。

此外,二阶导数测试的等价物以多元函数的 Hessian 规则形式出现。

技巧和窍门

请记住, 坡度为具有两个或多个变量的多元函数定义。另外,请记住梯度是一个向量,其中每个分量都是一个函数。更准确地说,它的每个组件都是一个部分衍生物第一顺序。

作为检查你的工作的一种方式,不要忘记梯度是一个向量,其维度等于函数中定义的自变量的数量。

示例：梯度计算器

查找与函数关联的梯度：\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)

解决方案：我们考虑以下多元函数：\(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\),因此我们需要计算它的梯度。

关于 \(x\) 的微分

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)\)

Since the derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)

We can use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\)

关于 \(y\) 的微分

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)\)

Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2y\)

关于 \(z\) 的微分

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial z}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\)

The derivative of a constant with respect to \(z\) is 0, so then:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial z}\left( z^2 \right) = 2z\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2z\)

结论。 因此,我们可以得出结论,给定函数 \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) 的梯度等于：

\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]