Факторизация полиномов

Этот полиномиальный тип калькулятора представляет собой тип полиномиального калькулятора, который позволит вам выразить выражение как умножение неприводимых коэффициентов.

Все, что вам нужно сделать, это предоставить полином, который вы хотите факторизовать. Это может быть полином более низкой степени, который уже упрощен, например x^2 - 2x + 3, или вы можете предоставить полиномы более высокого порядка, требующие упрощения, например x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.

Как только вы предоставите действительный полиномиальное выражение , что вам нужно сделать дальше, это нажать на кнопку "Рассчитать", после чего вы получите все этапы показанного вам процесса.

Хотя они являются одними из самых простых выражений, подлежащих факторизации, с полиномами в целом все еще трудно иметь дело, особенно с полиномами степени выше 5.

Как факторизовать многочлены

Существует единственный систематический способ факторизации многочленов — это нахождение их корней или нулей. Зная его корни, вы сможете найти его множители благодаря Основной теореме алгебры.

Например, для многочлена степени 3, если есть три корня \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\), Фундаментальная теорема алгебры гласит, что многочлен можно записать как:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

для константы \(a\), и то же самое произойдет с многочленом степени \(n\) с корнями \(n\) \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) и \(x_n\), которые могут быть написано как:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

Каковы этапы факторизации многочленов?

• Шаг 1: Определите многочлен, который вам нужно факторизовать, и сделайте все очевидным упрощения выражений если таковые имеются
• Шаг 2: Найди полиномиальные корни , используя подходящий метод, в зависимости от степени многочлена
• Шаг 3: Если полином имеет степень 2, используйте квадратичная формула в противном случае используйте Теорема о рациональном нуле
• Шаг 4: Найдя все корни, вы можете выразить окончательную факторизацию как \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \)

В поиске корней многочленов хорошо то, что вы можете искать по одному корню за раз и постепенно упрощать задачу. Позвольте мне показать, как:

Предположим, у вас есть один полином \(P(x)\), все корни которого вы хотите найти. Предположим, что полином имеет степень 5, поэтому вы ожидаете 5 корней, некоторые из которых не вещественные (комплексные).

Допустим, вам по чистой случайности удалось найти один корень, скажем, мы назовем его \(x_1\). Тогда по Фундаментальной теореме алгебры вы знаете, что \(x-x_1\) делит \(P(x)\), поэтому \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), где \(Q(x)\) — многочлен степени 4.

Вы можете задаться вопросом: "Как мне получить Q(x)??". Простой \(Q(x)\) получается с помощью Длинный дивизион чтобы разделить \(P(x)\) на \(x-x_1\). Мы знаем, что остаток равен нулю потому что \(x_1\) — это корень.

Не забывайте, что вы пытаетесь решить \(P(x) = 0\), поэтому теперь нам нужно решить \(Q(x)(x-x_1)\), что сводится к решению \(Q(x) = 0\). Итак, теперь у вас есть еще один Полиномиальное уравнение , только что проще оригинала. А затем вы продолжаете, пытаясь найти одно решение, а затем повторяете процесс.

Есть ли более простой способ полностью факторизовать полиномы?

Не совсем. Как ни странно, вы можете факторизовать путем разложения некоторых конкретных структур, вы можете факторизовать путем группировки, если это возможно, или вы можете использовать некоторые очевидные факторные возможности, например, такое выражение, как \(x^4 + x^2\), очевидно, поддается факторингу \(x^2\).

Но все эти трюки зависят от структуры, а это значит, что для их работы нужна конкретная упрощенная структура, и они ни в коем случае не являются общими способами решения проблемы.

Для многочленов факторизованное уравнение формы и фактические корни предоставляют одну и ту же информацию, за исключением константы, которая является константой, которая соответствует ведущему члену (члену с наивысшим показателем степени).

Зачем факторизовать полиномы

Очень просто, потому что это способ решения уравнений. Мы не можем пропустить процесс факторизации многочленов, поскольку он тесно связан с процессом решения полиномиальных уравнений.

То же самое происходит и с более общими уравнениями, где факторизация может помочь разбить сложное уравнение на более простые. Решение уравнений разбивается на более простые задачи, если вы умеете эффективно факторизовать и сокращать выражения.

Пример. использование полиномиального факторинга для решения уравнений

Решите следующее уравнение: \(x^5 = -x^3\)

Решение: Обычный подход состоит в том, чтобы свести все в одну сторону уравнения. Если вашим первым рефлексом является сокращение x^2 из обеих частей уравнения, пожалуйста, воздержитесь, потому что при этом вы потеряете решения. Вы увидите, почему. Итак, мы начинаем вот так

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

и теперь мы можем исключить \(x^2\):

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

Теперь мы используем старый трюк, который говорит нам, что \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), что означает, что

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

Теперь, когда у вас полностью учтена левая часть уравнения, мы видим, что нам нужно решить

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

поэтому нам нужно решить:

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

Теперь мы используем его коэффициенты для поиска решений, все, что нам нужно сделать, это установить коэффициенты равными нулю. Решениями уравнения являются \(x = 0\), \(x = -1\) и \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).

Больше калькуляторов полиномов

Полиномы — очень полезные объекты в алгебре, исчислении в физике, и они достаточно просты, чтобы содержать некоторые очень общие и полезные теоремы, такие как Фундаментальная теорема алгебры (которая утверждает, что все полиномиальные уравнения имеет много сложных решений в качестве степени).

Тем не менее, полиномы достаточно сложны, чтобы дать нам некоторые полиномиальные уравнения и полиномиальные неравенства которую невозможно решить элементарными методами, и вам нужно будет попытаться уменьшить степень многочлена, используя Полиномиальное деление и Теорема Об Остатке .

Поэтому, имея дело с объектами, более сложными, чем полиномы, разумно предположить, что вам понадобится Калькулятор коэффициентов который может обнаруживать сложные структуры и применять различные идентификаторы для достижения правильного факторинга, и, в конечном итоге, это не всегда возможно.