अभिव्यक्ति का विस्तार

यह विस्तार कैलकुलेटर आपको सभी प्रासंगिक चरणों को दिखाते हुए, आपके द्वारा प्रदान किए गए अभिव्यक्ति का विस्तार करने की अनुमति देगा। यह 2(x-1)^2 जैसी अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्ति हो सकती है, या यह कुछ अधिक जटिल हो सकती है जिसमें कुछ शामिल हैं मिश्रित कार्य .

एक बार एक वैध अभिव्यक्ति प्रदान की जाती है, तो परिणाम प्राप्त करने के लिए "गणना करें" पर क्लिक करना बाकी है, जिसमें सभी प्रासंगिक चरण दिखाए गए हैं, जिसमें दिखाया गया है कि अंतिम उत्तर तक कैसे पहुंचा जाए।

फ्रैक्चर बीजगणित में अंश रूपांतरण शामिल होता है जैसे कि आम भाजक का उपयोग, और बुनियादी अंकगणितीय नियमों का उपयोग।सभी में, गणना की प्रक्रिया श्रमसाध्य हो सकती है, हालांकि यह व्यवस्थित रूप से किया जा सकता है, बिना किसी समस्या के।

किसी अभिव्यक्ति का विस्तार करने का क्या मतलब है?

काफी हद तक, किसी अभिव्यक्ति का विस्तार करना इसके विपरीत है एक अभिव्यक्ति को सरल बनाना , लेकिन इसमें और भी बहुत कुछ है, क्योंकि शर्तें एक-दूसरे से उलझी हुई हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आपके पास अभिव्यक्ति है:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

आप इसका विस्तार कैसे करेंगे? शब्द के अर्थ से, आप सोच सकते हैं कि आप अभिव्यक्ति को यथासंभव बड़ा, यथासंभव "विस्तारित" करने का प्रयास कर रहे हैं। उस प्रकाश में, आप कह सकते हैं, हमारे पास निम्नलिखित विस्तार है:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन मुझे यह थोड़ा अधूरा लगता है: क्या आप भाग "2 - 3" को बिना प्रसंस्करण के छोड़ना चाहेंगे? मैं नहीं करूंगा, इसके बजाय मैं करूंगा

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

तो जैसा कि आप देख सकते हैं, इस विस्तार प्रक्रिया में थोड़ा सरलीकरण है। इसलिए, यह पूरी तरह सच नहीं है कि विस्तार करना सरलीकरण के विपरीत है। किसी अभिव्यक्ति के विस्तार में निम्नलिखित शामिल हैं पेमडास नियम शर्तों को वितरित करने के लिए, और फिर इसमें एक शामिल है अभिव्यक्तियों का सरलीकरण भाग।

मैं किसी व्यंजक या समीकरण का विस्तार कैसे करूँ?

विस्तार प्रक्रिया, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, यह केवल शब्द को "जितना संभव हो उतना विस्तारित" करने के बारे में नहीं है, बल्कि यह शब्दों को वितरित करने और सरल बनाने का मिश्रण है। लेकिन साथ ही आपको विवरणात्मकता का एक स्तर तय करना होगा, क्योंकि वितरण ही एकमात्र संभावित विस्तार नहीं है।

उदाहरण के लिए, हम संचालन के बारे में सोच सकते हैं उग्र अभिव्यक्तियाँ . मान लीजिए कि आप कुछ सरल अभिव्यक्ति से निपट रहे हैं

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

आप उसका विस्तार कैसे करेंगे? क्या आप यह विस्तार करेंगे?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

हालाँकि यह एक वैध ऑपरेशन है, कुछ लोग इसके अर्थ पर सवाल उठाते हुए कहेंगे कि "आप उस अभिव्यक्ति का विस्तार क्यों करेंगे जो पहले से ही पूरी तरह से सरल है"। लेकिन कुछ वैध उपयोग भी हैं, उदाहरण के लिए, आपके पास हर में \(\sqrt y\) हो सकता है, ऐसी स्थिति में आपके पास होगा

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

जो निम्नलिखित प्रश्न की ओर भी ले जाता है, कौन सा "सही" विस्तार है: \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) या \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)?

आशा है कि इन बिंदुओं से आपको यह समझने में मदद मिली होगी कि अभिव्यक्ति का विस्तार करने का कोई एक अनूठा तरीका नहीं है। किसी पद का विस्तार करने की आवश्यकता होने पर आपको निम्नलिखित चरणों का पालन करना चाहिए:

• स्टेप 1: अपनी विस्तार प्रक्रिया की ग्रैन्युलैरिटी को पहचानें: क्या आप केवल वितरण करके विस्तार करेंगे, या आप रेडिकल के नियमों, त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति (त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके), घातीय अभिव्यक्ति (शक्ति नियम का उपयोग करके) का उपयोग करके रेडिकल जैसे शब्दों का विस्तार करेंगे। लघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ , वगैरह।
• चरण दो: एक बार जब आप अभिव्यक्ति विस्तार की गंभीरता पर निर्णय ले लेते हैं जिसके लिए आप प्रतिबद्ध होंगे, तो आपको संबंधित PEMDAS नियमों का पालन करना होगा जो PEMDAS द्वारा स्थापित प्राथमिकता नियमों पर ध्यान देते हुए ऐसे विस्तार को नियंत्रित करेंगे।
• चरण 3: एक बार जब आपकी अभिव्यक्ति पिछले चरणों के अनुसार विस्तारित हो जाती है, तो आपको "विस्तार का सरलीकरण" करते हुए, यदि आवश्यक हो तो समान शब्दों को समूहीकृत करना होगा।
• चरण 4 : तैयार। अब आपको विस्तारित अभिव्यक्ति मिल गई है?

अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ (सीएएस) जैसे कि मैथमैटिका, सेज, ऑक्टेव, आदि विस्तार और सरलीकरण करते समय विभिन्न मानदंडों का उपयोग करते हैं, जिससे कई बार अलग-अलग अंतिम परिणाम प्राप्त होते हैं।

आप घातांक का विस्तार कैसे करते हैं?

जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, यह सब विस्तार की ग्रैन्युलैरिटी पर निर्भर करता है: यह है कि आप किस प्रकार की अभिव्यक्ति का विस्तार करना चाहते हैं, केवल गुणा और जोड़ का वितरण, या आप अन्य प्रकार शामिल करेंगे।

उदाहरण के लिए, घातांक के मामले में, यह सीधे घात नियम का पालन करता है जो यह बताता है

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

जो आपको वहीं विस्तार देता है जिसकी आप तलाश कर रहे हैं।

आप एक बहुपद का विस्तार कैसे करते हैं?

बहुपदों का विस्तार आम तौर पर वितरण गुण का उपयोग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप बहुपदों के इस उत्पाद का विस्तार करना चाह सकते हैं:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

वितरणात्मक गुण को लागू करके हम उसे पाते हैं

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

जैसा कि आप देख सकते हैं, बहुपदों के विस्तार में वितरण नियम का अपेक्षाकृत सरल उपयोग शामिल है। विभिन्न प्रकार की अभिव्यक्तियों को मिलाने पर चीजें निश्चित रूप से अधिक जटिल हो सकती हैं, लेकिन यह अभिव्यक्ति कैलकुलेटर का विस्तार करें न केवल बहुपदों से, बल्कि विभिन्न प्रकार की अभिव्यक्ति के संयोजन से भी निपटेगा, जिसमें विशिष्ट नियमों का विस्तार किया जाएगा।

बहुपदों के लिए अन्य सामान्य प्रकार का विस्तार किस पर आधारित है? द्विपद विस्तार प्रमेय , जो आपको बताता है कि \((x+y)^n\) जैसी शक्ति का विस्तार कैसे किया जाए। जैसा कि आप देख सकते हैं, कथानक सघन हो गया है और चीजें वास्तव में जटिल हो सकती हैं।

आप किसी अभिव्यक्ति का विस्तार क्यों करना चाहेंगे?

कई कारण हैं, जिनमें शर्तों को रद्द करना भी शामिल है, लेकिन केवल इतना ही नहीं, क्योंकि हम अक्सर इसकी संरचना और गुणों को थोड़ा बेहतर ढंग से समझने के लिए अभिव्यक्ति का विस्तार कर सकते हैं।

का प्रश्न किसी अभिव्यक्ति को सरल कैसे बनाएं और किसी अभिव्यक्ति का विस्तार कैसे करें पहली नज़र में विपरीत प्रतीत हो सकते हैं, लेकिन हमने देखा है कि वे वास्तव में साथ-साथ चलते हैं, और आपस में जुड़ जाते हैं।

विस्तारित रूप में अभिव्यक्ति का उदाहरण

निम्नलिखित अभिव्यक्ति को विस्तारित रूप में रखें \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

समाधान: आइए मान लें कि हमने लघुगणकीय समीकरणों सहित सभी प्रकार के व्यंजकों का विस्तार करने का निर्णय लिया है। इस मामले में हम जिस अभिव्यक्ति से निपट रहे हैं, उसमें एक भिन्न पद है जिसे किसी भी सार्थक तरीके से विस्तारित नहीं किया जा सकता है, लेकिन लघुगणकीय भाग को \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\) के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। तो फिर हमें मिलता है

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

जो विस्तारित रूप में अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है।

अन्य उपयोगी बीजगणित कैलकुलेटर

अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और विस्तारित करना विपरीत संक्रियाओं के बजाय दो पूरक संक्रियाएँ हैं। बीजगणित को कुशल स्तर पर संचालित करने के लिए आपको उन दोनों की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, आप एक का उपयोग करना चाह सकते हैं समीकरण सरल करें समीकरण को सरल बनाने के लिए, जिसका प्राथमिक अर्थ समीकरणों को हल करना आसान बनाना है, एक व्यावहारिक क्षमता है।

वास्तव में, समीकरण हल करना बीजगणित में सबसे महत्वपूर्ण क्षमताओं में से एक है, और आपको विस्तार और सरलीकरण के साथ-साथ कम करने और बढ़ाने की प्रक्रिया का पूरा प्रवाह होना चाहिए। वे सभी योग्यताएँ काम आएंगी।

विस्तार अन्य संदर्भ में महत्वपूर्ण हो सकता है, उदाहरण के लिए, का उपयोग करते समय द्विपद प्रमेय , इसलिए यह तोड़ने के लिए कि किसी पद के कौन से घटक हैं, उदाहरण के लिए, उन्हें एक-एक करके किसी अन्य अभिव्यक्ति के साथ मिलाना होगा।