حلول الجبر

العوامل التربيعية

عاليما: استخدم هذه الآلة الحاسبة العوامل التربيعية لعاملها والتعبير عن وظيفة تربيقية كمنتج لاثنين من أحادي , توضح جميع الخطوات.يرجى كتابة الوظيفة التربيعية التي تحتاج إلى عاملها في مربع النموذج أدناه.

المعادلات التربيعية

تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حساب عامل تحلل للمعادلة التربيعية التي تقدمها.تحتاج إلى توفير وظيفة تربيعية صالحة , على سبيل المثال 5/4 x^2 + 3x +1 , ولكن يمكنك أيضًا توفير وظيفة تربيعية غير مبسطة تمامًا , مثل 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/5 + 1/4 x , على سبيل المثال , شريطة أن تكون المعادلة التربيعية صالحة.

بطبيعة الحال, chowmlة و altrabiueة يرتبط بإحكام مع حlmadadlat altrabiueة , وسنرى أن العوامل تحتوي بسهولة على الجذور إلى المعادلة التربيعية.

في الواقع , فإن العثور على جذور المعادلة التربيعية هو عادةً الطريقة الأكثر شيوعًا لتوضيح وظيفة التربيعية.الطريقة الأخرى هي استخدام طريقة Zero العقلانية.

كيف تفعل العوامل التربيعية؟

هناك ما لا يقل عن نهجين منهجيين لحوم المعادلات التربيعية.واحدة من أكثر الطرق شيوعًا هي طريقة إيجاد جذور المعادلة التربيعية أولاً:

الخطوة 1: تحديد الوظيفة التربيعية المعطاة , وتبسيطها بالكامل إذا لزم الأمر
الخطوة 2: تأكد من الوظيفة في النموذج f (x) = ax² + bx + c
الخطوة 3: استخدم الصيغة التربيعية: << xyz >> للعثور على الجذور << xyz >> و << xyz >>
الخطوة 4: العوامل هي استخدام الصيغة التربيعية: f (x) = ax² + bx + c = a (x - x₁) (x -x₂)
الخطوة 5: الطريقة أعلاه تعمل سواء كانت الجذور حقيقية أم لا

وبعبارة أخرى , تظهر جذور المعادلات التربيعية هناك في المصطلحات الأحادية.

كيف تفعل العوامل التربيعية مع الصفر العقلاني؟

The Rational Zero هي نظرية تسمح لنا بالعثور على قائمة بالمرشحين العقلانيين المحتملين الذين يمكن أن يكونوا جذور المعادلة التربيعية , وبالتالي , يمكن استخدامها لإضفاء الطابع على المعادلة.

ما هي خطوات نظرية الصفر العقلانية؟

الخطوة 1: تحديد الوظيفة التربيعية المعطاة , وتبسيطها بالكامل إذا لزم الأمر
الخطوة 2: تأكد من الوظيفة في النموذج f (x) = ax² + bx + c
الخطوة 3: ابحث عن مقاطع عدد صحيح (إيجابية وسلبية) من C و A.ثم خذ كل مقسوم واحد من C وقسمه على كل مقسوم واحد من.هذا يخلق قائمة المرشحين العقلانيين
الخطوة 4: انتقل إلى كل عنصر من العناصر في القائمة أعلاه , وتحقق مما إذا كانت جذور المعادلة التربيعية المعطاة أم لا

تعمل هذه الطريقة في معظم الحالات , ولكن فقط عندما تكون المقابلة عازال له جذور عقلانية.

حل التربيع عن طريق العوملة

كما رأينا أعلاه , يرتبط حل الرباعي عن طريق العوملة ارتباطًا وثيقًا بعين الاعتبار التربيعي , وهي في الواقع عملية مكافئة.

في الواقع , إذا تمكنا من وضع وظيفة تربيعية , فعلينا ببساطة أن ننظر إلى المصطلحات الأحادية والحصول على الجذور على الفور..

وعلى العكس , إذا وجدنا الجذور , فإننا نعرف أن العوامل هي ببساطة (X - X₁) (X -X₂).

مثال: مثال طريقة العوامل

عامل: \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)

المحلول:

يتم تزويدنا بالتعبير التربيعي التالي: \(\displaystyle x^2-3x-5\).

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاجها إلى المحاولة هي \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]

الآن , نحتاج إلى العثور على أرقام عدد صحيح تقسم \(a\) و \(c\) , والتي سيتم استخدامها لبناء مرشحينا ليكونوا عوامل.

فواصل \(a = 1\) هي: \(\pm 1\).

فواصل \(c = -5\) هي: \(\pm 1,\pm 5\).

لذلك , تقسيم كل مقسم لـ \(c = -5\) على كل مقسم من \(a = 1\) , نجد القائمة التالية من المرشحين لتكون عوامل:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]

الآن , يجب اختبار جميع المرشحين لمعرفة ما إذا كانوا حلًا.يتم الحصول على ما يلي من اختبار كل مرشح:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:& & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:& & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

إذن , لا يوجد أي من المرشحين هو جذر , وبالتالي , لا تسمح لنا هذه الطريقة بإيجاد العوامل.

باستخدام الصيغة التربيعية

نظرًا لأننا لم نتمكن من العثور على الجذور باستخدام المرشحين العقلانيين المحتملين , فإننا نستخدم فقط الصيغة التربيعية.تم الحصول على ما يلي:

للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\) , يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-5\right) = 29\]

لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\) , وهو أمر إيجابي , نعلم أن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]

لذلك , فإن المعادلة المعطاة \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) لها جذور حقيقية مختلفة , وهما \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) و \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\).

لذلك , نظرًا لوجود جذور حقيقية , يمكن عامل الوظيفة التربيعية المحددة

\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]

مثال: التعبيرات التربيعية

حساب عامل: \( 3x^2 - 2x + 15\).هل العوامل حقيقية؟

المحلول:

يتم تزويدنا بالتعبير التربيعي التالي: \(\displaystyle 3x^2-2x+15\).

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاجها إلى المحاولة هي \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]

الآن , نحتاج إلى العثور على أرقام عدد صحيح تقسم \(a\) و \(c\) , والتي سيتم استخدامها لبناء مرشحينا ليكونوا عوامل.

فواصل \(a = 3\) هي: \(\pm 1,\pm 3\).

فواصل \(c = 15\) هي: \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\).

لذلك , تقسيم كل مقسم لـ \(c = 15\) على كل مقسم من \(a = 3\) , نجد القائمة التالية من المرشحين لتكون عوامل:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]

الآن , يجب اختبار جميع المرشحين لمعرفة ما إذا كانوا حلًا.يتم الحصول على ما يلي من اختبار كل مرشح:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:& & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:& & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:& & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:& & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:& & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:& & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

إذن , لا يوجد أي من المرشحين هو جذر , وبالتالي , لا تسمح لنا هذه الطريقة بإيجاد العوامل.

باستخدام الصيغة التربيعية

للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\) , يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(15\right) = -176\]

نظرًا لأننا في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\) , وهو أمر سلبي , نعلم أن المعادلة المعطاة لها جذور معقدة مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]

إذن , نجد ذلك:

\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]

لذلك , فإن المعادلة المعطاة \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) لها جذوران معقدة مختلفين , وهما \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) و \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\).

لذلك , نظرًا لوجود جذور معقدة , فإن الوظيفة التربيعية المعطاة لها العوامل المعقدة التالية:

\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]

مثال: كيفية حل المعادلات التربيعية

حل المعادلة التربيعية التالية عن طريق العوامل: \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \).

المحلول:

يتم تزويدنا بالتعبير التربيعي التالي: \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\).

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاجها إلى المحاولة هي \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]

الآن , نحتاج إلى العثور على أرقام عدد صحيح تقسم \(a\) و \(c\) , والتي سيتم استخدامها لبناء مرشحينا ليكونوا عوامل.

فواصل \(a = 1\) هي: \(\pm 1\).

معامل \(c = \frac{9}{4}\) ليس له مقسمات عدد صحيح.

وبالتالي , لا يمكننا استخدام هذه الطريقة للعثور على العوامل.

باستخدام الصيغة التربيعية

للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\) , يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(\frac{9}{4}\right) = 0\]

لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\) , وهو صفر , نعلم أن المعادلة لديها جذر حقيقي واحد فقط.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]

إذن , نجد ذلك:

\[x = -\frac{3}{2}\]

لذلك , فإن المعادلة المعطاة \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) لديها جذر حقيقي واحد فقط , وهو \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\).

لذلك , نظرًا لوجود جذر حقيقي واحد فقط , يمكن أخذ الوظيفة التربيعية في الاعتبار

\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]