المحللين الجبر

حاسبة المعادلة الأسية

عاليمت: استخدم حاسبة المعادلة الأسية هذه, موضحًا جميع خطوات الحل. يرجى كتابة المعادلة التي تريد حلها في مربع النموذج أدناه.

ما هي المعادلة الأسية

المعادلة الأسية هي, بعبارات بسيطة, معادلة الجبر حيث يظهر المجهول (x) كأس. على سبيل المثال,

\[\displaystyle 2^x = 4 \]

هي معادلة أسية بسيطة, لأن المتغير المجهول الذي نريد حله لـ (x), يظهر كأس ذو الأساس 2. الآن, لديك معادلات أسية أكثر تعقيدًا, مثل المثال أدناه:

\[\displaystyle \cos(2^x) + e^x = 4x \]

ما هي خطوات حل المعادلات الأسية؟

الظهر 1: تأكد من أنك تتعامل مع معادلة أسية, والتي تحتاج إلى معرفة ما إذا كانت x تظهر كأس
ال alخطoة 2: من المهم التأكد من أنك تعمل مع معادلة أسية. إذا لم يكن الأمر كذلك, فمن المرجح أن تضطر إلى استخدام نهج مختلف
الله 3: كن على علم بأنه لن يكون من السهل حل جميع المعادلات الأسية التي تواجهها, أو حتى أنك قد لا تتمكن من حلها
الظهر 4: ستكون الإستراتيجية الرئيسية هي محاولة تجميع جميع الأجزاء الأسية في تعبير أسي واحد, إن أمكن. على سبيل المثال, إذا كانت لديك معادلة مثل \(2^x 2^y = 4\), فستحتاج إلى إعادة كتابتها بالشكل \(2^{x+y} = 2^2\)
الظهر 5: ضع كل ما يعتمد على x (وجميع الأشياء المجهولة) في جانب والباقي في الجانب الآخر
ال 6: بعد ذلك, تحاول تجميع جميع الأجزاء الأسية معًا في جزء واحد, بحيث تحاول مساواة الأسس

الفكرة الرئيسية هي تجميع الأسس قدر الإمكان حتى نتمكن, كما تتخيل, من حذف الأساس. بعبارة أخرى, استراتيجية حل المعادلة الأسية هي التخلص من الجزء الأسي منها.

كيف تجد المعادلة الأسية؟

تظهر المعادلات الأسية بشكل طبيعي في إعدادات الجبر المختلفة. على سبيل المثال, فهي شائعة جدًا عند التعامل مع النماذج السكانية و معدلات النمو , أو عند التعامل مع مشاكل التطبيق المتعلقة بالتحلل الإشعاعي و نصف الحياة .

عادة, سيحدد السياق نوع الأساس والأس الذي ستجده أو الذي ستستخدمه عند حل معادلة أسية. على سبيل المثال, قد تكون لديك حالة بعض الكائنات الحية الدقيقة التي تبدأ في مضاعفة نفسها كل ساعة, وترغب في معرفة عدد الساعات التي يستغرقها وصول عدد الكائنات الحية الدقيقة إلى 1,000,000.

في هذا السياق, ليس من الصعب أن ندرك أن عدد السكان بعد \(x\) ساعة هو \(2^x\), ومن ثم من إعداد المشكلة, نريد أن حل المعادلة :

\[\displaystyle 2^x = 1,000,000 \]

ما هي الاستخدامات الأساسية للمعادلات الأسية؟

استخدم 1: نمذجة النمو السكاني على أساس النمو الأسي
استخدم 2: نمذجة الانحلال الأسي وحساب عمر النصف, على سبيل المثال الذي تظهره المواد المشعة
استخدام 3: التطبيقات المالية للتفاقم المستمر

الأفكار الرئيسية في الجبر المرتبطة بالمعادلات الأسية هي النمو الأسي في الاضمحلال الذي لوحظ في الأمثلة المفصلة أعلاه.

كيف يمكنك العثور على دالة أسية بنقطتين؟

تعتبر الدوال الأسية مهمة لأنها المكونات الرئيسية الموجودة في المعادلة الأسية. يمكنك استخدام هذا حASBة aloظyفة alأyة للعثور على الدالة من نقطتين.

هناك طرق أخرى لتحديد الدالة الأسية, وهي استخدام نهج القيمة الأولية ومعدل النمو, وفي هذه الحالة يمكنك استخدام نفس الآلة الحاسبة من الرابط أعلاه.

من المفيد بالتأكيد أن يكون لديك حاسبة المعادلة الأسية مع الخطوات , وذلك للتخلص من التخمين بشأن ما يجب القيام به لحل المعادلة, على الرغم من أنك ستكتشف في كثير من الأحيان أنه لا يمكن حل جميع المعادلات بالطرق التي نعرفها.

مثال: حساب معادلة أسية بسيطة

حل: \(2^{2x+1} = 4\)

إل: يجب حل المعادلة التالية:

\[2^{2x+1}=4\]

نلاحظ أن:

\( \displaystyle 2^{2x+1}=4\)

We need to apply the logarithmic function \(\log_{ 2}(\cdot)\), so we get

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \log_{ 2}\left(2^{2x+1}\right)=\log_{ 2}\left(4\right)\)

so then we get

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle 2x+1 =\log_{ 2}\left(4\right)=2\)

نضع \(x\) على الجانب الأيسر والثابت على الجانب الأيمن نحصل عليه

\[\displaystyle 2x = 1\]

ثم حل \(x\) بقسمة طرفي المعادلة على \(2\) نحصل على ما يلي

\[\displaystyle x=\frac{1}{2}\]

ولذلك نجد أن المعادلة المساعدة لها حل حقيقي واحد وهو: \(x = \frac{1}{2}\)

إن التعويض بهذه القيمة مرة أخرى في المعادلة الأصلية يؤكد أن هذا هو الحل. الذي يختتم الحساب.

مثال: حل المعادلات الأسية عن طريق التعويض

حل ما يلي: \(9^x + 3^x = 4\)

إل: لدينا المعادلة التالية:

\[9^x+3^x=4\]

وماذا بعد:

\( \displaystyle 9^x+3^x=4\)

نحن بحاجة إلى وضع قاعدة أسية مشتركة \(3\), نحصل على \(9^x=3^{2x}\), وبالتالي تصبح المعادلة

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle 3^{2x}+3^x-4=0\)

نحدد الاستبدال \(u = 3^x\), ونحصل على ذلك \(3^{2x} = \left(3^x\right)^{ 2} = u^2\), ونحصل عليه

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle u^2+u-4=0\)

وبحل هذه المعادلة المنطقية في المتغير \(u\), ومن ثم استخدام ذلك \(u = 3^x\), نحصل على الحلول \[x_1=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{4i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]
\[x_2=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\]\[ = ... \, \frac{-i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{3i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{5i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]

لذلك, حل \(x\) للمعادلة المعطاة يؤدي إلى حلول \(x=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)},\,\,x=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\), لثوابت الأعداد الصحيحة \(K_1, K_2\).

حلول حقيقية

لقد وجد أن المعادلة المعطاة لها حلول معقدة وحقيقية. الحل الحقيقي الذي تم تحديده هو \(x=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\).