المزيد عن آلة حاسبة نصف العمر هذه

تكمن الفكرة وراء مفهوم نصف العمر في معرفة المدة التي تستغرقها إحدى الوظائف لتقليل قيمتها بمقدار النصف.

هذا المفهوم مدفوع بقوة الاضمحلال الإشعاعي , حيث تتحلل المواد المشعة بشكل كبير , وهناك خاصية أنه لكل مادة مشعة معينة , يتم تقليل محتواها بمقدار النصف كل عدد معين من السنوات. الفترة الزمنية هي نصف العمر

بشكل عام , إذا أخذنا في الاعتبار دالة الانحلال الأسي:

\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]

نريد أن نرى ذلك \(f(0) = A_0\) , ونريد أن نجد \(h\) بحيث \(f(h) = A_0/2\). تحقيقا لهذه الغاية , نلاحظ ذلك

\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]

ماذا لو كان عليك إيجاد الدالة الأسية من نقطتين تمر بها؟

في هذه الحالة , سنحتاج إلى حل:

\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]

ولإيجاد حل لـ \(A\) و \(k\) , ثم قم بتطبيق الصيغة أعلاه مباشرةً لإيجاد عمر النصف \(h\).

كيف تحسب نصف العمر؟

يُحسب عمر النصف عن طريق إيجاد الوقت الذي تستغرقه الوظيفة لتقليل النصف جبريًا , كما هو موضح في القسم أعلاه. بالنسبة لغالبية الوظائف , يعتمد مقدار الوقت المطلوب لتقليل الوظيفة بمقدار النصف على نقطة البداية.

ولكن بالنسبة للدوال ذات الاضمحلال الأسي , فإن الوقت الذي تستغرقه الدالة لتقليل قيمتها بمقدار النصف يكون مستقلاً عن نقطة البداية.

كيف تحسب الاضمحلال باستخدام نصف العمر؟

بطبيعة الحال , يرتبط معدل الانحلال ودالة الانحلال الأسي نفسها ارتباطًا وثيقًا بعمر النصف. بالفعل , افترض أن عمر النصف \(h\) معروف , وأن \(A_0\) هو المبلغ الأولي (عند \(t = 0\)). بعد ذلك , يمكن كتابة دالة الانحلال الأسي على النحو التالي:

\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]