Подробнее о бесконечных геометрических рядах

Идея бесконечный серия может поначалу сбивать с толку. Это не должно быть сложно, когда мы понимаем, что мы подразумеваем под серией.

Бесконечный ряд - это не что иное, как бесконечная сумма. Другими словами, у нас есть бесконечный набор чисел, скажем \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), и мы будем складывать эти термины, например:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

Но поскольку писать приведенное выше выражение, чтобы прояснить, что мы суммируем бесконечное количество членов, может быть утомительно, мы используем нотацию, как всегда в Math. Бесконечный ряд записывается как:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

что является более компактным и недвусмысленным способом выразить то, что мы имеем в виду. Но все же идея бесконечной суммы сбивает с толку. Что мы подразумеваем под бесконечной суммой?

Это хороший вопрос: идея суммирования бесконечного числа членов состоит в суммировании до определенного члена \(N\) и последующем доведении этого значения \(N\) до бесконечности. Таким образом, бесконечный ряд определяется как

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

Таким образом, приведенное выше является формальным определением суммы бесконечного ряда.

Что особенного в геометрических рядах

В общем, чтобы указать бесконечную серию, вам нужно указать бесконечное количество терминов. В случае геометрической серии вам просто нужно указать первый член \(a\) и постоянное отношение \(r\).

Общий n-й член геометрической последовательности равен \(a_n = a r^{n-1}\), поэтому геометрический ряд становится

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

Важным результатом является то, что приведенный выше ряд сходится тогда и только тогда, когда \(|r| < 1\). В этом случае формула геометрического ряда для суммы имеет вид

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

Примеры

В качестве примера мы можем вычислить сумму геометрического ряда \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\). В этом случае первый член - \(a = 1\), а постоянное отношение - \(r = \frac{1}{2}\). Итак, сумма вычисляется напрямую как:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

Что происходит с сериалом \(|r| > 1\)

Короткий ответ: серии расходятся. Члены становятся слишком большими, как при геометрическом росте, если \(|r| > 1\), члены в последовательности станут чрезвычайно большими и будут стремиться к бесконечности.

Что делать, если сумма не бесконечна

В этом случае вам нужно использовать это калькулятор суммы геометрической последовательности , в котором вы складываете конечное количество терминов.