Подробнее об этом вершинном калькуляторе

Этот калькулятор позволит вам получить квадратичную функцию, которую вы вводите в Вершинная форма , показывая все шаги. Вам необходимо предоставить действительное квадратное выражение в x. Любая допустимая квадратичная функция будет работать.

Например, вы можете предоставить что-то вроде x^2 + 3x + 4, или, возможно, вы можете предоставить выражение, которое не упрощается, например, x^2 + 3x - 1/2 x + 3x^2 - 3.

Как только вы зададите действительную квадратичную функцию, просто нажмите кнопку "Вычислить", и вам будет показано вычисление вершинной формы со всеми шагами, предусмотренными этим Калькулятор параболы .

Каждая квадратичная функция, которая достоверно определена, имеет форму вершины, из которой можно непосредственно получить координаты вершины, а также то, открывается ли парабола "вверх" или "вниз".

Как найти форму вершины параболы?

Все квадратичные функции графически изображаются параболой. Эта парабола будет раскрываться вверх или вниз в зависимости от знака ведущего коэффициента.

В конечном итоге, получение параболы в виде вершины сводится к нахождению вершины квадратичной функции, что достигается следующим образом Завершение квадрата .

Каковы этапы вычисления вершинной формы?

Так, как найти форму вершины ? Вы можете выполнить следующие действия:

• Шаг 1: Определите квадратичную функцию. Выражение должно иметь степень 2, а ведущий коэффициент умножения x² должен быть отличен от нуля
• Шаг 2: Если ведущий коэффициент, умножающий x², положительный, парабола раскрывается вверх, а если отрицательный - вниз
• Шаг 3: Заполните квадраты, обратите внимание на член в скобках с x, так как он определяет x-координату вершины
• Шаг 4: После заполнения квадратов, константа вне скобок (она может быть нулевой) соответствует y-координате вершины

Таким образом, мы видим, что общий процесс вычисления формы вершины тесно связан с процессом заполнения квадратов.

Существует ли формула вершины?

Собственно говоря, да, есть. Обычно завершение процесса квадратов — это долгий путь. Предположим, у вас есть квадратичная функция , выраженный:

\[ f(x) = a x^2 + b x + c\]

Итак, у вас уже есть упрощенная квадратичная функция. Координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

\[ x_v = \displaystyle \frac{-b}{2a} \]

Очень просто, правда? Да. Но как тогда получить координату y вершины? Вы берете значение \(x_v\) и подставляете его в квадратичную функцию. Итак, мы получаем

\[ y_v = f(x_v) = a x_v^2 + b x_v + c \]

Естественно, эта формула может быть намного быстрее, чем процесс заполнения квадратов, но каждый метод имеет свое применение, и обстоятельства конкретной задачи подскажут вам, какую форму использовать. .

Квадратичная форма к вершинной?

Почему вы хотите перейти от квадратичной формы к вершинной? Есть много причин: с геометрической точки зрения, вершинная форма позволяет рассматривать данную квадратичную функцию как перевод и масштабирование элементарной параболы, где перевод определяется вершиной, а масштабирование - ведущим коэффициентом.

Расчет может быть трудоемким, но это Калькулятор параболы сделает всю работу за вас.

Стандартная форма вершины?

Обычно с этим возникает некоторая путаница. Поясню, вершинная форма — это другое название стандартной формы. Итак, стандартная форма квадратичной функции \(y = a(x-h)^2 + k\) совпадает с формой вершины.

Путаница возникает из-за того, что иногда люди используют общую форму квадратичного числа, когда ссылаются на стандартную форму. Общая форма - \(y = ax^2 + bx + c\).

Таким образом, вопрос, который имеет смысл, заключается в том, как перейти от общей формы к вершинной форме, что равносильно вопросу о том, как перейти от общей формы к стандартной форме. Ответ прост: начните с общей формы, а затем Заполните квадраты чтобы получить стандартную форму.

Пример: как найти форму вершины

Найдите вершину следующего квадратного выражения \(f(x) = x^2 + 3x - 6\), используя формулу вершины

Отвечать: Нам нужно найти форму вершины квадратичной функции \(\displaystyle f(x)=x^2+3x-6\).

Сначала мы вычисляем координаты вершины параболы, связанной с данной квадратичной функцией.

Для квадратичной функции вида \(f(x) = a x^2 + bx + c\) координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]

В этом случае мы имеем, что функция, для которой нам нужно найти вершину, является \(f(x) = \displaystyle x^2+3x-6\), что подразумевает, что соответствующие коэффициенты равны:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = -6\]

Подставляя известные значения \(a\) и \(b\) в формулу координаты x вершины, получаем:

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}\]

Теперь нам нужно подставить значение \(x_V = \displaystyle -\frac{3}{2}\) в квадратичную функцию, так что мы получим:

\[y_V = f(x_V)\] \[ = 1\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-6=1\cdot\frac{9}{4}+3\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-6=\frac{9}{4}+3\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-6=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-6=-\frac{33}{4}\]

Следовательно, координата x вершины равна \(x_V = \displaystyle -\frac{3}{2}\), а координата y вершины равна \(y_V = \displaystyle -\frac{33}{4}\). Это указывает на то, что точкой, представляющей вершину, является \( \displaystyle \left(-\frac{3}{2}, -\frac{33}{4}\right)\).

Графически получается следующее:

Нам нужно заполнить квадрат квадратного выражения \(\displaystyle x^2+6x-2\).

Для завершения квадрата необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: В этом случае, поскольку ведущая константа, член, который умножает \(x^2\) в данном многочлене, равен \(a = 1\), поэтому мы не должны его выносить на множитель.

Шаг 2: Мы добавим "2" перед членом \(x\), заметив, что член порядка 1 в данном квадратном выражении можно переписать: \(\displaystyle 6 x = 2 \cdot \left(3\right) x\), тогда мы получим \[ x^2+6x-2 = x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \]

Шаг 3: Член, умножающий на 2, в данном случае — это \(\displaystyle 3\), поэтому, чтобы использовать биномиальное уравнение, нам нужно, чтобы его квадрат \(\displaystyle \left(3\right)^2\) присутствовал в выражении.

Чтобы добиться этого, мы теперь добавляем и вычитаем член \(\displaystyle \left(3\right)^2 = 9\), чтобы завершить квадрат. Добавление и вычитание одного и того же члена аналогично добавлению нуля, поэтому это не влияет на выражение: \[ \begin{array}{ccl} \displaystyle x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \end{array}\]

Шаг 4: Завершаем квадрат и упрощаем константы: \[ \begin{array}{ccl} x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x+9-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left[x^2+2 \cdot \left(3\right) x+\left(3\right)^2\right]-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left( x+3 \right)^2-11 \end{array}\]

Заключение: Следовательно, мы находим, что функция в вершинной форме имеет вид \(\displaystyle f(x) = \left( x+3 \right)^2-11\), что завершает расчет.

Пример: приведение квадратичной формы к вершинной

Преобразуйте следующую квадратичную форму \(f(x) = x^2 + 6x - 2\) в вершинную форму. Каковы координаты вершины? Парабола направлена вверх или вниз?

Решение:

Нам нужно найти форму вершины квадратичной функции \(\displaystyle f(x)=x^2+6x-2\).

Сначала мы вычисляем координаты вершины параболы, связанной с данной квадратичной функцией.

Для квадратичной функции вида \(f(x) = a x^2 + bx + c\) координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]

В этом случае мы имеем, что функция, для которой нам нужно найти вершину, является \(f(x) = \displaystyle x^2+6x-2\), что подразумевает, что соответствующие коэффициенты равны:

\[a = 1\] \[b = 6\] \[c = -2\]

Подставляя известные значения \(a\) и \(b\) в формулу координаты x вершины, получаем:

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\]

Теперь нам нужно подставить значение \(x_V = \displaystyle -3\) в квадратичную функцию, так что мы получим:

\[y_V = f(x_V)\] \[ = 1\cdot \left(-3\right)^2+6\cdot \left(-3\right)-2=1\cdot \left(-3\right)^2+6\cdot \left(-3\right)-2=-3^2+6\cdot \left(-3\right)-2=9-18-2=-11\]

Следовательно, координата x вершины равна \(x_V = \displaystyle -3\), а координата y вершины равна \(y_V = \displaystyle -11\). Это указывает на то, что точкой, представляющей вершину, является \( \displaystyle \left(-3, -11\right)\).

Нам нужно заполнить квадрат квадратного выражения \(\displaystyle x^2+6x-2\).

Для завершения квадрата необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: В этом случае, поскольку ведущая константа, член, который умножает \(x^2\) в данном многочлене, равен \(a = 1\), поэтому мы не должны его выносить на множитель.

Шаг 2: Мы добавим "2" перед членом \(x\), заметив, что член порядка 1 в данном квадратном выражении можно переписать: \(\displaystyle 6 x = 2 \cdot \left(3\right) x\), тогда мы получим \[ x^2+6x-2 = x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \]

Шаг 3: Член, умножающий на 2, в данном случае — это \(\displaystyle 3\), поэтому, чтобы использовать биномиальное уравнение, нам нужно, чтобы его квадрат \(\displaystyle \left(3\right)^2\) присутствовал в выражении.

Чтобы добиться этого, мы теперь добавляем и вычитаем член \(\displaystyle \left(3\right)^2 = 9\), чтобы завершить квадрат. Добавление и вычитание одного и того же члена аналогично добавлению нуля, поэтому это не влияет на выражение: \[ \begin{array}{ccl} \displaystyle x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \end{array}\]

Шаг 4: Завершаем квадрат и упрощаем константы: \[ \begin{array}{ccl} x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x+9-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left[x^2+2 \cdot \left(3\right) x+\left(3\right)^2\right]-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left( x+3 \right)^2-11 \end{array}\]

Заключение: Следовательно, мы находим, что функция в вершинной форме имеет вид \(\displaystyle f(x) = \left( x+3 \right)^2-11\), что завершает расчет.

Другие квадратичные калькуляторы

Большинство из квадратичные калькуляторы в той или иной степени зависят от процесса квадрат , который позволяет группировать внутри круглых скобок то, что возведено в квадрат.

Как мы видим в формуле вершины, расчет вершины тесно связан с квадратичная формула а также вычисление корней квадратного уравнения . .