Калькулятор завершения квадрата

В чем смысл завершения квадрата? Идея заключается в том, чтобы получить квадрат чего-то. Если у вас есть квадратичное выражение вида \(ax^2 + bx + c\), вы хотите получить его как "квадрат чего-то".

Анализируя выражение, единственный квадрат, который вы видите, это часть \(a x^2\), которая содержит квадрат \(x\), но затем у вас есть и другие вещи помимо квадрата. С математической точки зрения, всегда можно представить квадратичное выражение вида \(ax^2 + bx + c\) как "квадрат чего-то", но потенциально нам потребуется добавить константу.

Иногда, если эта константа равна нулю, мы получаем то, что называется идеальный квадрат .

Как завершить квадрат? Завершение квадратов, или совершенствование площади как его еще называют, это просто процесс приведения квадратичного выражения \(ax^2 + bx + c\) к форме квадрата простого выражения, плюс, возможно, константа. Процедура проста и состоит из нескольких этапов.

Как заполнить квадрат

Шаг 1: Убедитесь, что переданное выражение является квадратичным, с ненулевым коэффициентом умножения члена \(x^2\). Если это не так, вы не сможете выполнить эту процедуру.

Шаг 2: Теперь, когда у вас есть правильный квадратичный член \(ax^2 + bx + c\), вам нужно вычислить коэффициент \(a\) (член, который умножает \(x^2\)). Если \(a = 1\), то оставьте все как есть.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

Шаг 3: Теперь нам нужно посмотреть на термин, который находится внутри скобок (или исходный термин, если \(a = 1\)). Обратите внимание, что для константы \(d\) мы имеем, что \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Таким образом, мы видим, что

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

Итак, термин \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) в приведенном выше выражении ужасно похож на \(d\) в \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Поэтому, действительно, мы можем сделать

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Этот процесс называется решить путем возведения в квадрат или же совершенствование площади .

Примеры на заполнение квадрата

Рассмотрим выражение: \(2x^2 + 2x + 1\). Сначала мы вычтем 2:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

Мы можем либо запомнить формулу, приведенную выше, либо следовать процедуре "форсирования" квадрата". Я считаю, что последний вариант - лучший, потому что вы можете забыть формулу, но не забудете процедуру, когда выучите ее. Итак, посмотрим на член \(x\) и поставим перед ним 2. Таким образом, мы получаем

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

Теперь посмотрите на член в скобках слева от \(x\). Мы возводим этот член в квадрат, складываем его и вычитаем: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), то есть, по сути, мы прибавляем 0, так что выражение не меняется:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

Теперь мы можем определить первые три члена как совершенный квадрат, поэтому получаем:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

Почему она называется так, как называется?

Возможно, вам интересно, почему процедура возведения в квадрат называется возведением в квадрат? Ну, я уже упоминал об этом в самом начале: мы пытаемся получить квадратичное выражение и переписать его как "квадрат чего-то", и это делается путем добавления нужной константы, так что мы буквально "завершаем квадрат". Прибавляя (и вычитая) эту константу, мы получаем совершенный квадрат плюс константа, что позволяет найти этот "квадрат чего-то", который мы искали

Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Интересно, что возведение в квадрат эквивалентно решению квадратного уравнения. Действительно, если мы хотим решить

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

теперь мы знаем, что можем заполнить квадрат, чтобы получить:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

получаем, что решение квадратного уравнения равносильно решению

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

тогда

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Так что, как вы можете использовать, если вы заполните квадрат для решения квадратного уравнения, это точно то же самое, что использовать традиционную квадратичную формулу.

Другие соответствующие калькуляторы

Возможно, вас заинтересует наш калькулятор квадратных уравнений если вы хотите вычислить корни с помощью традиционной формулы квадратного уравнения.