Факторизация квадратных уравнений

Данный калькулятор позволяет вычислить коэффициентное разложение квадратного уравнения, которое вы предоставите. Вам необходимо предоставить действительную квадратичную функцию, например, 5/4 x^2 +3x +1, но вы также можете предоставить не полностью упрощенную квадратичную функцию, например, 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/5 + 1/4 x, при условии, что квадратное уравнение является действительным.

Естественно, факторизация квадратичных функций тесно связана с решение квадратных уравнений и мы увидим, что коэффициенты легко содержат корни квадратного уравнения.

На самом деле, нахождение корней квадратного уравнения обычно является наиболее распространенным способом определения коэффициента квадратичной функции. Другой способ - использование метода рационального нуля.

Как выполнить квадратичную факторизацию?

Существует как минимум два систематических подхода к факторизации квадратных уравнений. Один из наиболее распространенных способов - метод, при котором сначала находятся корни квадратного уравнения:

• Шаг 1: Определите заданную квадратичную функцию и при необходимости полностью упростите ее
• Шаг 2: Убедитесь, что функция в форме f(x) = ax² + bx + c
• Шаг 3: Используйте квадратичную формулу: \(x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), чтобы найти корни \(x_1\) и \(x_2\)
• Шаг 4: Факторизация - Использование квадратичной формулы: f(x) = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x-x₂)
• Шаг 5: Приведенный выше метод работает независимо от того, являются ли корни действительными или нет

Другими словами, корни квадратных уравнений появляются прямо в мономиальных членах.

Как выполнить квадратичную факторизацию с рациональным нулем?

Рациональный ноль - это теорема, которая позволяет найти список потенциальных рациональных кандидатов, которые могут быть корнями квадратного уравнения, и, следовательно, их можно использовать для факторизации уравнения.

Каковы шаги теоремы рационального нуля?

• Шаг 1: Определите заданную квадратичную функцию и при необходимости полностью упростите ее
• Шаг 2: Убедитесь, что функция в форме f(x) = ax² + bx + c
• Шаг 3: Найдите целые (положительные и отрицательные) делители c и a. Затем возьмите каждый делитель c и разделите его на каждый делитель a. Это создаст список рациональных кандидатов
• Шаг 4: Пройдитесь по каждому элементу из приведенного выше списка и проверьте, являются ли они корнями данного квадратного уравнения или нет

Этот метод работает в большинстве случаев, но только тогда, когда соответствующий Квадратное уравнение имеет рациональные корни.

Решить квадратичную зависимость с помощью факторизации

Как мы видели выше, решение квадратиков с помощью факторизации тесно связано с факторизацией квадратика, более того, это эквивалентные процессы.

Действительно, если нам удалось факторизировать квадратичную функцию, то нам остается просто посмотреть на мономиальные члены и сразу получить корни. .

И наоборот, если мы нашли корни, то знаем, что факторизация - это просто a(x - x₁)(x-x₂).

Пример: пример метода факторизации

Факторизация: \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)

Решение:

Нам дано следующее квадратичное выражение: \(\displaystyle x^2-3x-5\).

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно попытаться разложить на коэффициенты, имеет вид \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]

Теперь нам нужно найти целые числа, которые делят \(a\) и \(c\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в факторы.

Разделителями \(a = 1\) являются: \(\pm 1\).

Разделителями \(c = -5\) являются: \(\pm 1,\pm 5\).

Поэтому, разделив каждый делитель \(c = -5\) на каждый делитель \(a = 1\), мы получим следующий список кандидатов в факторы:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Значит, ни один из кандидатов не является корнем, а значит, этот метод не позволяет найти коэффициенты.

Использование квадратичной формулы

Поскольку мы не смогли найти корни с помощью потенциальных рациональных кандидатов, мы просто используем квадратичную формулу. Получается следующее:

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-5\right) = 29\]

Поскольку в данном случае дискриминант \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\) положительный, мы знаем, что уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

итак, мы выяснили, что:

\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]

Поэтому данное уравнение \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) имеет два различных вещественных корня, которыми являются \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) и \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\).

Поэтому, учитывая, что существует два вещественных корня, данную квадратичную функцию можно факторизовать как

\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]

Пример: факторизация квадратичных выражений

Вычислите факторизацию: \( 3x^2 - 2x + 15\). Является ли факторизация реальной?

Решение:

Нам дано следующее квадратичное выражение: \(\displaystyle 3x^2-2x+15\).

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно попытаться разложить на коэффициенты, имеет вид \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]

Теперь нам нужно найти целые числа, которые делят \(a\) и \(c\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в факторы.

Разделителями \(a = 3\) являются: \(\pm 1,\pm 3\).

Разделителями \(c = 15\) являются: \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\).

Поэтому, разделив каждый делитель \(c = 15\) на каждый делитель \(a = 3\), мы получим следующий список кандидатов в факторы:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]

Теперь необходимо протестировать всех кандидатов, чтобы понять, являются ли они решением. В результате тестирования каждого кандидата получено следующее:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:&    & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:&    & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Значит, ни один из кандидатов не является корнем, а значит, этот метод не позволяет найти коэффициенты.

Использование квадратичной формулы

Поскольку мы не смогли найти корни с помощью потенциальных рациональных кандидатов, мы просто используем квадратичную формулу. Получается следующее:

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(15\right) = -176\]

Поскольку в данном случае дискриминант \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\) отрицательный, мы знаем, что данное уравнение имеет два различных сопряженных комплексных корня.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]

итак, мы выяснили, что:

\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]

Поэтому данное уравнение \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) имеет два различных сопряженных комплексных корня, которыми являются \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) и \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\).

Поэтому, учитывая, что существует два комплексных корня, данная квадратичная функция имеет следующую комплексную факторизацию:

\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]

Пример: как решать квадратные уравнения

Решите следующее квадратное уравнение методом факторизации: \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \).

Решение:

Нам дано следующее квадратичное выражение: \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\).

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно попытаться разложить на коэффициенты, имеет вид \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]

Теперь нам нужно найти целые числа, которые делят \(a\) и \(c\), которые будут использоваться для построения наших кандидатов в факторы.

Разделителями \(a = 1\) являются: \(\pm 1\).

Коэффициент \(c = \frac{9}{4}\) не имеет целочисленных делителей.

Следовательно, мы не можем использовать этот метод для поиска факторов.

Использование квадратичной формулы

Поскольку мы не смогли найти корни с помощью потенциальных рациональных кандидатов, мы просто используем квадратичную формулу. Получается следующее:

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(\frac{9}{4}\right) = 0\]

Поскольку в этом случае дискриминант \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\) равен нулю, мы знаем, что уравнение имеет только один действительный корень.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]

итак, мы выяснили, что:

\[x = -\frac{3}{2}\]

Поэтому данное уравнение \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) имеет только один вещественный корень, который равен \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\).

Поэтому, учитывая, что существует только один вещественный корень, данную квадратичную функцию можно разложить в виде

\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]

Больше квадратичных калькуляторов

Важность квадратичные выражения невозможно переоценить. решение квадратных уравнений станет одним из ваших самых мощных инструментов при работе с алгеброй во всех видах приложений. .

график квадратичной функции имеет форму параболы, которая обладает всеми видами или замечательными симметриями, с вершина которая представляет собой заметную точку параболы, которая "поддерживает" ее, и ориентацию, которая определяется тем, открывается ли она вверх или вниз.