Дискриминантная формула

Этот калькулятор будет использовать формулу дискриминанта, показывая все шаги для квадратного уравнения, которое вы предоставите.

Вам нужно предоставить действительное квадратное уравнение, например, 2x²+x-1=0, которое уже упрощено, или вы можете предоставить что-то, что является действительным квадратичным выражением, но требует дальнейшего упрощения, например, 2x²+3x-1 = 3/4x - 4/5.

После ввода правильного квадратного уравнения достаточно нажать кнопку "Вычислить", и все шаги вычисления будут предоставлены вам.

Упрощенное квадратное уравнение в форме ax² + bx + c = 0 будет использоваться для вычисления дискриминанта, который сразу укажет на характер корней: Два вещественных корня, один вещественный корень или два комплексных корня.

Дискриминантная формула

Как найти дискриминант квадратного уравнения ? Как только вы получили квадратное уравнение в форме ax² + bx + c = 0, вы можете напрямую применить формулу дискриминанта:

\[\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac\]

Дискриминантное значение

После того, как вы применили приведенную выше формулу и получили значение \(\Delta\) для дискриминанта, каково его значение?

• Шаг 1: Если \(\Delta > 0\): то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня
• Шаг 2: Если \(\Delta = 0\): то квадратное уравнение имеет только один действительный корень
• Шаг 3: Если \(\Delta < 0\): Тогда квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня

Что означает два сопряженных комплексных корня ? Графически это просто парабола, которая не пересекает ось x.

С другой стороны, два разных вещественных корня графически означают, что парабола пересекает ось x в двух точках. Дискриминант, равный нулю, означает, что парабола является касательной к оси x.

Зачем заботиться о дискриминанте?

Дискриминант предоставляет вам простую форму для оценки типов корней квадратного уравнения без фактического решения уравнения.

Естественно, мы видим, что дискриминант буквально появляется в квадратичная формула поэтому он явно связан с процессом вычисления квадратичные корни .

Пример: вычисление дискриминанта

Найдите дискриминант следующего уравнения: \(x^2+ 3x + 10 = 0\)

Отвечать: Нам необходимо решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+3x+10=0\).

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по следующей формуле:

\[\Delta = \displaystyle b^2-4ac\]

В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2+3x+10 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = 10\]

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[\Delta = b^2-4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(10\right) = -31\]

Следовательно, дискриминант данного квадратного уравнения \(\Delta = \displaystyle -31 < 0\) отрицательный, что говорит о том, что данное уравнение \(\displaystyle x^2+3x+10=0\) имеет два различных сопряженных комплексных корня.

На этом расчет определителя завершен.

Пример: вычисление дискриминанта

Найдите дискриминант следующего уравнения: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Отвечать: В данном случае, поскольку квадратное уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2+3x+10 = 0\), то есть в упрощенной форме, соответствующие коэффициенты имеют вид:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 4\]

Подставляя эти значения в приведенную выше формулу, находим, что:

\[\Delta = b^2-4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(4\right) = -44 \]

Таким образом, дискриминант данного квадратного уравнения равен \(\Delta = \displaystyle -44 < 0\), что отрицательно. Следовательно, данное уравнение \(3x^2 - 2x + 4 = 0\) имеет два различных сопряженных комплексных корня.

На этом расчеты завершены.

Пример: дискриминантное значение

Не решая уравнение \(2x^2 - 3x - 10 = 0\), укажите характер его корней.

Отвечать: В этом случае нам нужно решить \(2x^2 - 3x + 1 = 0\), тогда соответствующие коэффициенты будут:

\[a = 2\] \[b = -3\] \[c = -10\]

Подставляя эти значения в формулу определителя, находим, что:

\[\Delta = b^2-4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-10\right) = -44 \]

Таким образом, дискриминант данного квадратного уравнения равен \(\Delta = 89 > 0\), что положительно. Поэтому, не решая уравнения, мы знаем, что данное уравнение \(2x^2 - 3x - 10 = 0\) имеет два различных действительных корня.

Больше квадратичных калькуляторов

Разбирательство с квадратичные функции и уравнений очень часто встречается в алгебре. Вычисление корней квадратных уравнений тесно связана с вычисление дискриминанта и нахождение вершины .

С геометрической точки зрения, дискриминант указывает на тип расположения параболы, которая представляет квадратичную функцию, и оси x.