Подробнее об этом калькуляторе экспоненциальных уравнений

Основная цель этого калькулятора — решить предоставленные вами показательные уравнения и показать вам решение, включающее все этапы. Например, вы можете ввести такое уравнение, как "9^x + 3^x = 4".

Как только вы будете удовлетворены введенным уравнением, вы идете и нажимаете "Решить", чтобы были представлены этапы решения со всеми необходимыми шагами.

Экспоненциальные уравнения обычно решаются с использованием некоторых различных законов экспонент.

Что такое экспоненциальное уравнение

Показательное уравнение, проще говоря, представляет собой Алгебра уравнение в котором неизвестное (x) выступает в качестве показателя степени. Например,

\[\displaystyle 2^x = 4 \]

— это простое экспоненциальное уравнение, поскольку неизвестная переменная, которую мы хотим найти для (x), отображается как показатель степени с основанием 2. Теперь у вас есть более сложные экспоненциальные уравнения, такие как пример ниже:

\[\displaystyle \cos(2^x) + e^x = 4x \]

Каковы этапы решения показательных уравнений?

• Шаг 1: Убедитесь, что вы имеете дело с показательным уравнением, для которого вам нужно увидеть, отображается ли x в качестве показателя степени
• Шаг 2: Важно убедиться, что вы работаете с показательным уравнением. Если нет, вам, вероятно, придется использовать другой подход
• Шаг 3: Имейте в виду, что не все показательные уравнения, с которыми вы столкнетесь, будет легко решить, или даже вы не сможете их решить
• Шаг 4: Основная стратегия заключалась бы в том, чтобы попытаться сгруппировать все экспоненциальные части в одно экспоненциальное выражение, если это возможно. Например, если у вас есть уравнение типа \(2^x 2^y = 4\), вам нужно переписать его как \(2^{x+y} = 2^2\)
• Шаг 5: Поместите все, что зависит от x (и все неизвестные) в одну сторону, а все остальное - в другую
• Шаг 6: Затем вы пытаетесь собрать все показательные части в одну, чтобы попытаться приравнять показатели степени

Основная идея состоит в том, чтобы максимально сгруппировать показатели степени, чтобы, как вы понимаете, мы могли исключить основание. Другими словами, стратегия решения экспоненциального уравнения состоит в том, чтобы фактически избавиться от его экспоненциальной части.

Как найти показательное уравнение?

Экспоненциальные уравнения естественным образом появляются в различных настройках алгебры. Например, они очень распространены при работе с моделями населения и темпы роста или при решении прикладных проблем, связанных с радиоактивным распадом и период полураспада .

Обычно контекст определяет, какой тип основания и показателя степени вы найдете или будете использовать при решении показательного уравнения. Например, у вас может быть ситуация, когда какой-то микроорганизм начинает размножаться каждый час, и вы хотели бы знать, через сколько часов популяция микроорганизмов достигнет 1 000 000.

В этом контексте нетрудно понять, что после \(x\) часов население будет \(2^x\), и тогда, исходя из постановки задачи, мы хотим решить уравнение :

\[\displaystyle 2^x = 1,000,000 \]

Каковы основные применения экспоненциальных уравнений?

• Используйте 1: Моделирование роста населения на основе экспоненциального роста
• Используйте 2: Моделирование экспоненциального распада и расчет периода полураспада, например, наблюдаемого у радиоактивных материалов
• Используйте 3: Финансовые приложения для непрерывного начисления процентов

Основными идеями алгебры, связанными с экспоненциальными уравнениями, являются экспоненциальный рост затухания, который наблюдается в примерах, подробно описанных выше.

Как найти показательную функцию с двумя точками?

Показательные функции важны, потому что они являются основными компонентами экспоненциального уравнения. Вы можете использовать это Калькулятор Экспоненциальной Функции найти функцию из двух точек.

Есть и другие способы определения показательной функции, а именно с использованием подхода начального значения и скорости роста, в этом случае можно воспользоваться тем же калькулятором по ссылке выше.

Конечно, полезно иметь Калькулятор экспоненциального уравнения с шагами , чтобы исключить догадки о том, что нужно сделать, чтобы решить уравнение, хотя часто вы обнаружите, что не все уравнения можно решить известными нам методами.

Пример: расчет простого показательного уравнения

Решите: \(2^{2x+1} = 4\)

Отвечать: Необходимо решить следующее уравнение:

\[2^{2x+1}=4\]

Мы наблюдаем, что:

Поместив \(x\) слева и константу справа, мы получим

\[\displaystyle 2x = 1\]

Затем, решив для \(x\), разделив обе части уравнения на \(2\), получим следующее:

\[\displaystyle x=\frac{1}{2}\]

Таким образом, мы обнаруживаем, что вспомогательное уравнение имеет одно вещественное решение: \(x = \frac{1}{2}\)

Подстановка этого значения обратно в исходное уравнение подтверждает, что это решение. что завершает расчет.

Пример. решение показательных уравнений методом подстановки

Решите следующее: \(9^x + 3^x = 4\)

Отвечать: Мы имеем следующее уравнение:

\[9^x+3^x=4\]

Итак:

Решив это рациональное уравнение с переменной \(u\), а затем используя это \(u = 3^x\), мы получим решения \[x_1=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{4i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]
\[x_2=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{3i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{5i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]

Следовательно, решение \(x\) для данного уравнения приводит к решениям \(x=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)},\,\,x=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\) для \(K_1, K_2\) произвольных целочисленных констант.

Реальные решения

Установлено, что данное уравнение имеет как комплексные, так и вещественные решения. Реальное найденное решение — \(x=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\).

Больше калькуляторов уравнений

Другие связанные операции, которые вы, возможно, захотите выполнить, это решать квадратные уравнения , или же решить линейное уравнение , которые, по большому счету, легче всего решить и гарантированно найти все решения.

Тогда вы также можете использовать решатель тригонометрических уравнений , чтобы иметь дело с этими часто сложными тригонометрическими уравнениями, которые появляются время от времени.

Используя калькулятор уравнений как и те, о которых идет речь, вы ясно увидите, как вы решаете уравнение, и если уравнение не может быть решено, то в чем суть того, что мы это понимаем, или почему мы не можем этого сделать.