Калькулятор экспоненциального роста

Используйте этот калькулятор экспоненциального роста, чтобы задать растущую функцию, указав ее начальное значение и ее рост (или скорость затухания). Для того, чтобы сделать действительную скорость роста, укажите положительную скорость.

Кроме того, у вас есть возможность решить, как действует эта ставка, ежегодно или непрерывно. Затем вы нажимаете "Рассчитать", чтобы получить все показанные шаги.

Экспоненциальный рост — это алгебраическое поведение, которое имеет множество применений в реальной жизни, от финансов до экономики, от социальных наук до биологии. Он представляет собой рост, который увеличивается каждый период на определенную ставку (или процент).

Один из способов видения состоит в том, что скорость изменения пропорциональна размеру функции.

Формула экспоненциального роста

Говорят, что функция \(f(t)\) имеет экспоненциальный рост, если она может быть выражена как:

\[f(t) = A_0 (1 + r)^t \]

Для приведенной выше формулы \(r\) соответствует скорости роста, выраженной в виде десятичного числа или в процентах (они эквивалентны).

Как правило, вам будет предоставлена скорость роста начисления процентов и начальное значение \(A_0\), но иногда вам будет предоставлена информация о функции, и вам придется вывести параметры \(r\) и \(A_0\).

Для приведенной выше формулы экспоненциального роста существует особый случай, когда ставка непрерывно начисляется, и в этом случае формула принимает вид

\[f(t) = A_0 e^{rt} \]

Как Правило, экспоненциальный рост функции представляют деньги, но, как мы упоминали ранее, могут представлять различные явления, такие как рост населения.

Этот тип явлений можно увидеть отраженным в экспоненциальной кривой, которая начинается относительно плоско, но быстро увеличивается.

Экспоненциальный рост приложений

Вы можете использовать это Калькулятор экспоненциальной функции для различных типов моделей при условии, что вы знаете требуемые параметры.

Одна типичная такая модель включает в себя определенные популяции, которые быстро растут. Это может случиться с бактериями, насекомыми и даже с человеческой популяцией. Обычно по мере быстрого роста населения конкуренция за ресурсы становится все более жесткой, и рост перестает быть экспоненциальным.

Обратите внимание, что этот калькулятор также предоставит вам график результирующей экспоненциальной функции.

Как связаны экспоненциальный рост и экспоненциальный спад?

Экспоненциальный рост и экспоненциальное затухание абсолютно аналогичны, и главное отличие состоит в том, что скорость \(r\) при экспоненциальном росте положительна, а при экспоненциальном затухании - отрицательна.

Вы также можете использовать это Калькулятор Экспоненциального Распада для обратного, но аналогичного экспоненциального поведения, которое соответствует экспоненциальному затуханию, где скорость роста теперь отрицательна.

Итак, как я узнаю, рост это или распад? Все просто: вы просто смотрите на скорость, и если она положительна, то у вас есть рост, а если она отрицательна, у вас есть спад.

Калькулятор экспоненциального роста и распада покажет вам все шаги, которые по сути состоят из решения двух одновременных уравнений с двумя неизвестными.

.

Экспоненциальный рост от двух точек

Теперь вы можете захотеть вычислить экспоненциальную функцию из двух точек, через которые, как известно, она проходит.

Но как найти показатель экспоненциального роста с двумя точками? Вы начинаете с общего экспоненциального уравнения формы \(f(t) = A_0 e^{r t}\). В этом уравнении есть два неизвестных: \(A_0\) и \(k\).

Таким образом, подставив две точки \((t_1, y_1)\) и \((t_2, y_2)\) в \(f(t) = A_0 e^{r t}\), вы получите два уравнения с двумя неизвестными, которые будут разрешимы при условии, что \(t_1 \ne t_2\), что имеет смысл, потому что нам не нужны две точки с та же координата x.