Калькулятор Half Life
Инструкции: Используйте этот пошаговый калькулятор периодов полураспада, чтобы найти период полураспада для функции, имеющей экспоненциальное затухание. Вам необходимо указать параметры функции экспоненциального затухания или указать две точки \((t_1, y_1)\) и \((t_2, y_2)\), через которые функция проходит.
Рассмотрим функцию
\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]Подробнее об этом калькуляторе Half Life
Идея, лежащая в основе концепции полураспада, состоит в том, чтобы выяснить, сколько времени требуется, чтобы функция уменьшила свое значение вдвое.
Эта концепция сильно мотивирована радиоактивный распад , в котором радиоактивный материал распадается экспоненциально, и есть свойство, что для каждого конкретного радиоактивного материала его содержание уменьшается вдвое каждые определенное количество лет. Период времени - это период полураспада
В общем, если мы рассмотрим экспоненциальную функцию затухания:
\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]мы хотим увидеть это \(f(0) = A_0\), и мы хотим найти \(h\), чтобы \(f(h) = A_0/2\). С этой целью мы замечаем, что
\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]Что, если вам нужно найти экспоненциальную функцию из двух точек, через которые она проходит?
В этом случае нам нужно будет решить:
\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]и решить для \(A\) и \(k\), а затем непосредственно применить приведенную выше формулу для определения периода полураспада \(h\).
Как рассчитать период полураспада?
Период полураспада вычисляется путем алгебраического определения времени, необходимого для того, чтобы функция уменьшилась вдвое, как это было показано в разделе выше. Для большинства функций время, необходимое для уменьшения функции наполовину, зависит от начальной точки.
Но для функций с экспоненциальным затуханием время, необходимое функции для уменьшения своего значения наполовину, не зависит от начальной точки.
Как рассчитать распад с использованием периода полураспада?
Естественно, скорость распада и сама экспоненциальная функция распада тесно связаны с периодом полураспада. Действительно, предположим, что период полураспада \(h\) известен, а \(A_0\) - это начальное количество (при \(t = 0\)). Тогда функцию экспоненциального затухания можно записать следующим образом:
\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]
