Факторинг трехчленов

Этот калькулятор позволит вам факторизовать трехчлены формы \(ax^2+bx+c\). Обратите внимание, что это очень специфический тип трехчлена, который по сути соответствует квадратичному выражению.

После того, как вы предоставили действительный трехчлен, вам нужно будет нажать , все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку "Рассчитать", и вам будут предоставлены все этапы вычислений.

Проблема факторизации трехчленов — относительно простая задача, которая в конечном итоге зависит от нашей способности решение квадратных уравнений , по крайней мере, для того типа трехчленов, с которым мы имеем дело.

Что такое трехчлен

Трехчлен, как указывает часть "три", представляет собой алгебраическое выражение с тремя членами. Технически что-то вроде \(a+b+c\) является трехчленом, таким же, как \(a\cdot b\cdot \ c\). Но обычно мы имеем в виду аддитивный трехчлен, поэтому последний не попадает в эту категорию.

Но, кроме того, мы неявно подразумеваем наличие трехчлена с полиномиальными членами формы \(d x^k\). Последнее предположение, которое мы сделаем, это то, что высшая степень больше на два. Мы можем вынести член так, чтобы высшая степень была равна 2 (это всегда возможно с последовательными степенями).

Тогда триномиалы, с которыми мы имеем дело, просто сводятся к классу выражений вида

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

Каковы этапы факторизации трехчленов?

• Шаг 1: Определите трехчлен и убедитесь, что он соответствует требованиям, предъявляемым к трехчлену в смысле определения, приведенного выше
• Шаг 2: Предполагая, что высшая степень равна 2, член имеет форму \(a x^2 + bx^2 + c \), поэтому затем определите коэффициенты a, b и c
• Шаг 3: Решите квадратное уравнение \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). Предположим, что \(\alpha\) и \(\beta\) являются корнями, тогда трехчленный факторинг равен \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• Шаг 4: Если высшая степень больше 2, выделите наибольшую возможную степень и вернитесь к шагу 2

В конечном счете, решение задачи факторизации трехчлена зависит от вашей способности условия факторинга и решать квадратные уравнения .

Можем ли мы иметь общий делитель трехчленов?

Основываясь на нашем определении трёхчленов, которые мы хотим принять для этой процедуры, технически да, у нас может быть общий множитель, который можно исключить. Действительно, в этом калькуляторе предполагается, что трехчлен имеет вид \(a x^2 + bx + c\), который вообще не имеет общих множителей.

Но тогда вы можете возразить, что \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) — это трёхчлен, имеющий общие множители, и вы будете правы, утверждая это.

Происходит следующее: если мы сможем выделить общий множитель, например \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \), то в конечном итоге вы получите тот самый простой трехчлен, который мы здесь используем.

Являются ли триномиальный факторинг и полиномиальный факторинг одним и тем же?

Точнее, можно сказать, что мы получаем трёхчлен и факторизуем его, мы делаем факторизация полиномов квадратичного полинома (после вынесения члена, если необходимо).

Идея разговора о триномах вместо полиномов состоит в том, чтобы сделать акцент на конкретной структуре выражения, с которым мы имеем дело, в котором мы 3 члена, в отличие от общего многочлена, который может иметь более 3 членов.

Зачем использовать этот калькулятор, а не мой научный калькулятор?

Одна из основных причин заключается в том, что этот калькулятор факторинга с пошаговыми инструкциями покажет вам соответствующую работу, которую необходимо проделать для достижения решения, а это означает, что вы увидите обоснование того, ПОЧЕМУ вы нашли результат.

В следующем разделе вы увидите примеры факторизации трехчленов с ответами: один из них использует формулу квадратного уравнения, а другой использует легкий трюк для факторинга путем группировки.

Пример триномиальной факторизации

Учитывайте следующее: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

Решение: Обратите внимание, что мы можем исключить \(x^2\), тогда

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

а квадратичную часть можно легко факторизовать как \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\), что приводит к:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

чем завершается расчет.

Пример: трехчленный коэффициент

Найдите факторизацию следующего трёхчлена \( x^2 + 2x + 3 \).

Решение: В этом примере мы показываем, что дело не только в формуле квадратного уравнения, и иногда вы можете использовать некоторые сокращения, в зависимости от структуры уравнения. Мы можем использовать фактор путем группировки в этом примере. Заметить, что

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

и сгруппировав первые два члена вместе и последние два члена вместе, мы получим:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

но этот последний член может быть вычтен из x + 3, поэтому мы получаем:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

чем завершается расчет.

Еще полезные квадратные калькуляторы

квадратичные выражения действительно важны в алгебре, поскольку представляют собой простейшее отклонение от линейности и широко используются для моделирования различных типов явлений.

квадратичные функции имеют особые структуры, которые позволяют очень легко найти его корни и интересные геометрические свойства, такие как вершина параболы . Более того, квадратичная формула найти корни квадратного уравнения — одного из самых знаковых и известных уравнений во всей алгебре