बहुपदीय फैक्टरिंग

यह बहुपद प्रकार का कैलकुलेटर एक प्रकार का बहुपद कैलकुलेटर है जो आपको अप्रासंगिक कारकों के गुणन के रूप में एक अभिव्यक्ति डालने की अनुमति देगा।

आपको बस एक बहुपद प्रदान करना है जिसका आप गुणनखंड करना चाहते हैं। यह निम्न डिग्री का बहुपद हो सकता है जो पहले से ही सरलीकृत हो, जैसे x^2 - 2x + 3, आप उच्च क्रम के बहुपद प्रदान कर सकते हैं जिनके लिए सरलीकरण की आवश्यकता होती है, जैसे x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1।

एक बार जब आप एक वैध प्रदान करते हैं बहुपद अभिव्यक्ति , आपको आगे क्या करना है "गणना करें" बटन पर क्लिक करना है, और फिर आपको प्रक्रिया के सभी चरण दिखाए जाएंगे।

यद्यपि वे गुणनखंडन के लिए सबसे सरल अभिव्यक्ति में से एक हैं, बहुपदों से निपटना अभी भी कठिन है, विशेष रूप से 5 से अधिक डिग्री वाले बहुपदों के साथ।

बहुपदों का गुणनखंड कैसे करें

बहुपदों के गुणनखंडन का एकमात्र व्यवस्थित तरीका इसके मूल या शून्य ज्ञात करना है। इसकी जड़ों को जानकर आप बीजगणित के मौलिक प्रमेय के कारण इसके गुणनखंडों का पता लगाने में सक्षम होंगे।

उदाहरण के लिए, घात 3 के बहुपद के लिए, यदि तीन जड़ें \(x_1\), \(x_2\) और \(x_3\) हैं, तो बीजगणित का मौलिक प्रमेय कहता है कि बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

एक अचर \(a\) के लिए, और यही बात \(n\) घात वाले बहुपद के लिए भी होगी, जिसमें \(n\) मूल \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) और \(x_n\) होंगे, जो हो सकते हैं इस प्रकार लिखा गया है:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

बहुपदों का गुणनखंडन करने के चरण क्या हैं?

• स्टेप 1: उस बहुपद की पहचान करें जिसका आपको गुणनखंड करना है, और कोई भी स्पष्ट करें अभिव्यक्ति सरलीकरण यदि कोई
• चरण दो: खोजें बहुपद जड़ें , बहुपद की डिग्री के आधार पर, एक उपयुक्त विधि का उपयोग करना
• चरण 3: यदि बहुपद की घात 2 है, तो इसका प्रयोग करें द्विघात सूत्र , अन्यथा, का उपयोग करें तर्कसंगत शून्य प्रमेय
• चरण 4: एक बार जब आपको सभी जड़ें मिल जाएं, तो आप अंतिम गुणनखंडन को \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं

बहुपदों की जड़ें खोजने के बारे में अच्छी बात यह है कि आप एक समय में एक जड़ ढूंढ सकते हैं और समस्या को उत्तरोत्तर सरल बना सकते हैं। आइए मैं दिखाता हूं कैसे:

मान लीजिए कि आपके पास एक बहुपद \(P(x)\) है जिसके सभी मूल ज्ञात करना चाहते हैं। मान लीजिए कि बहुपद की घात 5 है, इसलिए आप 5 मूलों की अपेक्षा कर रहे हैं, जिनमें से कुछ वास्तविक (जटिल) नहीं हैं।

मान लीजिए कि केवल भाग्य से आपको एक जड़ मिल गई, मान लीजिए कि हम इसे \(x_1\) कहते हैं। फिर, बीजगणित के मौलिक प्रमेय से आप जानते हैं कि \(x-x_1\) \(P(x)\) को विभाजित करता है, तो फिर \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), जहां \(Q(x)\) घात 4 का एक बहुपद है।

आप सोच रहे होंगे कि "मुझे Q(x) कैसे मिलेगा?"। सरल \(Q(x)\) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है लम्बा विभाजन \(P(x)\) को \(x-x_1\) से विभाजित करने के लिए। हम जानते हैं कि शेषफल शून्य है क्योंकि \(x_1\) एक जड़ है.

यह न भूलें कि आप \(P(x) = 0\) को हल करने का प्रयास कर रहे हैं, इसलिए अब हमें \(Q(x)(x-x_1)\) को हल करना है, जिसे घटाकर \(Q(x) = 0\) कर दिया गया है। तो अब आपके पास एक और है बहुपद समीकरण , केवल मूल से उतना ही सरल। और फिर आप एक समाधान खोजने की कोशिश करते हुए आगे बढ़ते हैं और फिर प्रक्रिया को दोहराते हैं।

क्या बहुपदों को पूर्णतः गुणनखंडित करने का कोई सरल तरीका है?

ज़रूरी नहीं। वास्तविक रूप से, आप कुछ विशिष्ट संरचनाओं को विस्फोट करके कारक बना सकते हैं, यदि संभव हो तो आप समूह बनाकर कारक बना सकते हैं, या आप कुछ स्पष्ट कारक अवसरों का फायदा उठा सकते हैं, उदाहरण के लिए \(x^4 + x^2\) जैसी अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से \(x^2\) को कारक बनाने के लिए उधार देती है।

लेकिन ये सभी तरकीबें संरचना-निर्भर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें काम करने के लिए एक विशिष्ट सरलीकृत संरचना की आवश्यकता होती है, और ये किसी भी तरह से समस्या से निपटने के सामान्य तरीके नहीं हैं।

बहुपदों के लिए, गुणनखंडित रूप समीकरण और वास्तविक जड़ें समान जानकारी प्रदान करते हैं, एक स्थिरांक को छोड़कर, जो कि वह स्थिरांक है जो अग्रणी पद (उच्चतम घातांक वाला पद) के साथ जाता है।

गुणनखंड बहुपद क्यों

बहुत सरल, क्योंकि यह समीकरणों को हल करने का तरीका है। हम बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया को छोड़ नहीं सकते क्योंकि यह बहुपद समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया से गहराई से जुड़ा हुआ है।

यही बात अधिक सामान्य समीकरणों के साथ भी होती है, जहां फैक्टरिंग एक जटिल समीकरण को सरल समीकरणों में तोड़ने में मदद कर सकती है। समीकरण हल करना यदि आप प्रभावी ढंग से कारक बनाने और अभिव्यक्ति को कम करने में सक्षम हैं तो यह सरल समस्याओं में टूट जाता है।

उदाहरण: समीकरणों को हल करने के लिए बहुपद गुणनखंड का उपयोग करना

निम्नलिखित समीकरण को हल करें: \(x^5 = -x^3\)

समाधान: सामान्य दृष्टिकोण में सब कुछ समीकरण के एक तरफ रखना शामिल है। यदि आपकी पहली प्रतिक्रिया समीकरण के दोनों पक्षों से x^2 को रद्द करना है, तो कृपया इससे बचें क्योंकि ऐसा करने से आप समाधान खो देंगे। आप देखेंगे क्यों. तो हम इस तरह से शुरुआत करते हैं

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

और अब हम \(x^2\) को फैक्टर कर सकते हैं:

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

अब, हम पुरानी युक्ति का उपयोग करते हैं जो हमें बताती है कि \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), जिसका अर्थ है

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

अब जब आपके पास समीकरण का बायां पक्ष पूरी तरह से फैक्टर हो गया है, तो हम देखते हैं कि हमें हल करने की आवश्यकता है

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

इसलिए हमें हल करने की आवश्यकता है:

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

अब हम समाधान खोजने के लिए इसके कारकों का उपयोग करते हैं, हमें बस कारकों को शून्य के बराबर सेट करना है। समीकरण के समाधान \(x = 0\), \(x = -1\) और \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\) हैं।

अधिक बहुपद कैलकुलेटर

बीजगणित में बहुपद बहुत उपयोगी वस्तुएं हैं, भौतिकी में कैलकुलस, और वे इतने सरल हैं कि उनके पास कुछ बहुत ही सामान्य और उपयोगी प्रमेय हैं, जैसे कि बीजगणित का मौलिक प्रमेय (जो बताता है कि सभी बहुपद समीकरण इसकी डिग्री के रूप में कई जटिल समाधान हैं)।

फिर भी, बहुपद हमें कुछ प्रदान करने के लिए काफी कठिन हैं बहुपद समीकरण और बहुपद असमानताएँ इसे प्राथमिक तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है, और आपको इसका उपयोग करके बहुपद की डिग्री को कम करने का प्रयास करना होगा बहुपद विभाजन और यह शेष प्रमेय .

इसलिए बहुपदों की तुलना में अधिक जटिल वस्तुओं से निपटते समय, यह सोचना उचित है कि आपको इसकी आवश्यकता होगी कारक कैलकुलेटर जो जटिल संरचनाओं का पता लगा सकता है और उचित फैक्टरिंग तक पहुंचने के लिए विविध पहचान लागू कर सकता है, और अंततः, यह हमेशा संभव नहीं होता है।