تحليل المعادلات الثلاثية

ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بتحليل ثلاثيات الحدود بالصيغة \(ax^2+bx+c\). لاحظ أن هذا نوع محدد جدًا من ثلاثية الحدود التي تتوافق بشكل أساسي مع التعبير التربيعي.

بمجرد تقديم قيمة ثلاثية صالحة, ستحتاج إلى النقر فوق , كل ما عليك فعله هو النقر فوق الزر "احسب", وسيتم تزويدك بجميع خطوات العمليات الحسابية.

إن مشكلة تحليل ثلاثيات الحدود إلى عواملها هي مشكلة بسيطة نسبيًا, وتعتمد في النهاية على قدرتنا على حل المعادلات التربيعية , على الأقل بالنسبة لنوع ثلاثيات الحدود التي نتعامل معها.

ما هو ثلاثي الحدود

ثلاثي الحدود, كما يشير الجزء "ثلاثي", هو عبارة جبرية ذات ثلاثة حدود. من الناحية الفنية, شيء مثل \(a+b+c\) هو ثلاثي الحدود, تمامًا مثل \(a\cdot b\cdot \ c\). ولكن عادةً ما نعني ثلاثية الحدود المضافة, لذلك لن يقع الأخير في هذه الفئة.

ولكن علاوة على ذلك, فإننا نعني ضمنيًا وجود ثلاثي الحدود بمصطلحات متعددة الحدود على شكل \(d x^k\). الافتراض الأخير الذي سنفعله هو أن أعلى قوة أكبر بمقدار اثنين, يمكننا تحليل حد ما بحيث تكون أعلى قوة هي 2 (وهذا ممكن دائمًا مع القوى المتسلسلة).

بعد ذلك, يتم ببساطة اختزال المثلثات التي نتعامل معها إلى فئة تعبيرات الصورة

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

ما هي خطوات تحليل ثلاثيات الحدود؟

• الخطوة 1: حدد ثلاثية الحدود, وتأكد من استيفائها لمتطلبات أن تكون ثلاثية بالمعنى الوارد في التعريف أعلاه
• الخطوة 2: بافتراض أن أعلى درجة هي 2, فإن الحد هو بالصيغة \(a x^2 + bx^2 + c \), لذا حدد المعاملات a وb وc
• الخطوه 3: حل المعادلة التربيعية \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). افترض أن \(\alpha\) و \(\beta\) هما الجذران, فإن التحليل الثلاثي هو \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• الخطوة 4: إذا كانت أعلى درجة أكبر من 2, فاستخرج أعلى قوة ممكنة, ثم عد إلى الخطوة 2

في النهاية, الحل لمهمة تحليل ثلاثية الحدود يكمن في قدرتك على ذلك شروط التخصيم و حل المعادلات التربيعية .

هل يمكن أن يكون لدينا عامل مشترك من ثلاثيات الحدود؟

استنادًا إلى تعريفنا لثلاثيات الحدود التي نريد قبولها في هذا الإجراء, من الناحية الفنية, نعم, يمكن أن يكون لدينا عامل مشترك يمكن تحليله. في الواقع, في هذه الآلة الحاسبة, يُفترض أن تكون ثلاثية الحدود على الشكل \(a x^2 + bx + c\), الذي لا يحتوي على عوامل مشتركة بشكل عام.

ولكن بعد ذلك, يمكنك القول بأن \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) عبارة عن ثلاثية لها عوامل مشتركة, وستكون على صواب في قول ذلك.

ما يحدث هو أنه إذا تمكنا من إخراج عامل مشترك مثل \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \), فسوف ينتهي بك الأمر في النهاية إلى نوع ثلاثي الحدود الأساسي الذي نستخدمه هنا.

هل التخصيم ثلاثي الحدود والتخصيم متعدد الحدود متماثلان؟

بتعبير أدق, يمكننا القول إننا حصلنا على ثلاثية الحدود وقمنا بتحليلها, ونقوم بتحليلها الحدود الحدود من كثير الحدود من الدرجة الثانية (بعد تحليل الحد إذا لزم الأمر).

الفكرة من وراء الحديث عن ثلاثيات الحدود بدلاً من كثيرات الحدود هي التركيز على البنية المحددة للتعبير الذي نتعامل معه, والذي نتعامل فيه مع 3 حدود, على عكس كثيرة الحدود العامة التي يمكن أن تحتوي على أكثر من 3 حدود.

لماذا أستخدم هذه الآلة الحاسبة وليس آلتي الحاسبة العلمية؟

أحد الأسباب الرئيسية هو أن حاسبة التخصيم هذه مع الخطوات ستظهر لك العمل ذي الصلة الذي يجب القيام به للوصول إلى الحلول, مما يعني أنك سترى مبررًا لسبب العثور على النتيجة.

في القسم التالي, ستشاهد أمثلة على تحليل المعادلات الثلاثية مع الإجابات, أحدها يستخدم صيغة المعادلة التربيعية, والآخر يستخدم خدعة بسيطة لإجراء التحليل عن طريق التجميع.

مثال على التحليل ثلاثي الحدود

عامل ما يلي: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

حل: لاحظ أنه يمكننا استبعاد \(x^2\), إذن

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

ويمكن تحليل الجزء التربيعي بسهولة إلى \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\), مما يؤدي إلى:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

الذي يختتم الحساب.

مثال: عامل ثلاثي الحدود

أوجد تحليل المعادلة الثلاثية التالية \( x^2 + 2x + 3 \).

حل: في هذا المثال, نوضح أن الأمر لا يتعلق بصيغة المعادلة التربيعية, وفي بعض الأحيان يمكنك اتباع بعض الاختصارات, اعتمادًا على بنية المعادلة. يمكننا ان نستخدم عامل عن طريق التجميع في هذا المثال. لاحظ أن

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

ومن خلال تجميع الحدين الأولين معًا والحدين الأخيرين معًا نحصل على:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

لكن هذا الحد الأخير يمكن أن يأخذ x + 3 إلى العامل, لذلك نحصل على:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

الذي يختتم الحساب.

المزيد من الآلات الحاسبة التربيعية المفيدة

التعبيرات التربيعية إنها مهمة حقًا في الجبر لأنها تمثل أبسط خروج عن الخطية, وتستخدم على نطاق واسع لنمذجة أنواع مختلفة من الظواهر.

وظائف تربيعية لها هياكل محددة تجعل من السهل حقًا العثور على جذورها والعثور على خصائص هندسية مثيرة للاهتمام, مثل قبر المكافئ . وعلاوة على ذلك, فإن الصيغة التربيعية يعد العثور على جذور المعادلة التربيعية من أكثر المعادلات شهرة وشهرة في جميع مجالات الجبر