解答者代数

扩展表达

指示： 使用此代数计算器展开您提供的表达式,并显示所有相关步骤。请在下面的框中输入您要展开的表达式。

扩展表达式

这个展开计算器可以展开您提供的表达式,并显示所有相关步骤。它可以是一个相对简单的表达式,如 2(x-1)^2,也可以是更复杂的表达式,涉及一些复合函数 .

提供有效表达式后,只需点击 "计算 "即可得到结果,所有相关步骤都会显示,说明如何得出最终答案。

分数代数涉及分数转换,如使用共同分母,以及使用基本算术规则。总而言之,计算的过程可能很费力,尽管可以系统地完成,没有太大的问题。

扩展表达式是什么意思？

在很大程度上,扩展表达式与简化表达式但是,这两个词之间还存在着更多的联系。

例如,如果您有这样的表达式

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

如何扩展？根据这个词的意思,你可以认为你是想让表达尽可能大,尽可能 "扩展"。在这种情况下,你可以说,我们有如下扩展：

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

我不知道你是怎么想的,但对我来说,这感觉有点不完整：你会想不对 "2 - 3 "部分进行处理吗？我不会,我会

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

因此,正如你所看到的,在这个扩展过程中,有一点简化。因此,"展开 "与 "简化 "并不完全相反。扩展表达式包括以下步骤 PEMDAS规则分配条款,然后涉及到简化表达式 part.

如何展开表达式或方程？

扩展过程,正如我们之前提到的,并不仅仅是让术语 "尽可能扩展",而是术语分布和简化的混合过程。不过,你还需要确定一个细化程度,因为分布并不是唯一可能的扩展。

例如,我们可以用部首表达式 .假设您正在处理一个简单的表达式,例如

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

你会如何扩展？你会进行这种扩展吗？

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

虽然这是一个有效的操作,但有些人会质疑它的意义,认为 "为什么要扩展一个已经完美简化的表达式"。但也有一些有效的用法,例如,分母中可能有一个 \(\sqrt y\),在这种情况下,你可以用

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

这也引出了下面的问题：哪一个才是 "正确的 "扩展？是 \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) 还是 \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)？

希望这些要点能帮助你认识到,扩展表达式的方法并不是唯一的。当需要扩展一个表达式时,你应该遵循以下步骤：

步骤1： 确定扩展过程的粒度：是仅通过分布进行扩展,还是使用根式规则,三角表达式（使用三角等式）,指数表达式（使用幂次规则）等术语进行扩展, 对数表达式等等
第2步： 一旦您决定了要扩展表达的粒度,您就需要遵循相应的 PEMDAS 规则来扩展表达,同时注意 PEMDAS 制定的优先规则
第3步： 根据前面的步骤展开表达式后,如果需要,您需要将同类项归类,进行 "展开式简化"。
第4步 :准备。您现在找到了扩展表达式？

大多数计算机代数系统（CAS）,如 Mathematica,Sage,Octave 等,在展开和化简时使用不同的标准,导致最终结果往往不同。

如何展开指数？

正如我们之前提到的,这完全取决于扩展的粒度：也就是说,你想要扩展哪种类型的表达式,是只扩展乘法和加法的分布,还是包含其他类型。

以指数为例,它直接遵循幂次法则,即

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

这就为您提供了所需的扩展功能。

如何展开多项式？

多项式通常使用分布性质进行展开。例如,您可能想要展开这个多项式的乘积：

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

运用分配律,我们发现

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

正如你所看到的,多项式展开式涉及到分配律的一个相对简单的用法。当混合不同类型的表达式时,情况肯定会变得更加复杂,但这扩展表达式计算器不仅要处理多项式,还要处理不同类型表达式的组合,并扩展特定的规则。

其他常见的多项式展开式基于二项式展开定理告诉你如何扩展像 \((x+y)^n\) 这样的幂。正如你所看到的,情节越来越复杂。

为什么要扩展表达式？

原因有很多,包括为了取消术语,但不仅如此,因为很多时候我们可以扩展表达式,以便更好地理解其结构和性质。

问题 如何简化表达式 和 如何展开表达式 乍看之下,它们可能是相反的,但我们已经看到,它们实际上是相辅相成,相互交织的。

扩展表达式示例

将下面的表达式扩展为 \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

解决方案：假设我们决定展开所有类型的表达式,包括对数方程。在这种情况下,我们要处理的表达式有一个分数项,无法以任何有意义的方式展开,但对数部分可以展开为 \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\)。因此,我们可以得到

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

从而得出扩展形式的表达式。