反三角导数

使用此计算器,您将能够计算反三角函数的导数,显示过程的所有步骤。

这个想法是你提供的函数包含一个反三角函数,例如f(x) = x^2/arctan(x+1),只是举个例子。

当您准备好并完成输入需要区分的函数时,单击"计算"按钮以查看过程和计算的所有步骤。

的想法 计算导数 的反三角函数是自然的,我们将在下一段中看到它们可以直接从 三角导数 你知道的。

反三角函数

简单来说,反三角函数是那些在相应的三角函数上评估它们时,它们导致恒等式的函数。例如,如果我们考虑函数 \(\sin(x)\),它的反函数是 \(\arcsin(x)\),这个反函数具有以下性质

\[\sin(\arcsin(x)) = x \]

也

\[\arcsin(\sin(x)) = x \]

对于某个时间间隔内的所有 \(x\)。所以严格来说,\(\arcsin(x)\)从代数的角度来看是\(\sin(x)\)的反函数。其他反三角函数及其对应的三角函数也是如此。

反三角导数计算

那么,如果 \(f\) 是一个函数,并且它有一个反函数 \(f^{-1}\),那么我们有

\[f^{-1}(f(x)) = x\]

对于所有 \(x\)。然后,如果我们对等式的两边进行微分,并在左侧使用链式法则,我们得到

\[ \displaystyle (f^{-1})'(f(x))f'(x) = 1\] \[ \displaystyle (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}\]

现在,如果我们设置 \(y = f(x)\),那么 \(x = f^{-1}(y)\),这将导致

\[ \displaystyle (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\] \[ \Rightarrow \displaystyle (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

我们如何将其用于反三角函数？假设 \(f(x) = \sin(x)\) 和 \(f^{-1}(x) = \arcsin(x)\)。那么,根据函数的导数与其逆函数的导数之间的一般关系,我们得到

\[ \displaystyle \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\frac{d}{dx}\sin (\arcsin(x))}\] \[ \Rightarrow \displaystyle \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\]

但是一个巧妙的几何技巧告诉我们

\[\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin(x))} = \sqrt{1 - x^2} \]

这意味着

\[ \displaystyle \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}\]

其余的反三角导数都是用类似的论证得到的。

6 个基本的反三角函数是什么？

• #1： \( \displaystyle \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}\)
• #2： \( \displaystyle \frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}\)
• #3： \( \displaystyle \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
• #4： \( \displaystyle \frac{d}{dx} \operatorname{arccot}(x) = -\frac{1}{1+x^2}\)
• #5： \( \displaystyle \frac{d}{dx} \operatorname{arcsec}(x) = \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}\)
• #6： \( \displaystyle \frac{d}{dx} \operatorname{arccsc}(x) = -\frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}\)

有趣的是,在计算反三角函数的导数时,没有一个反三角导数涉及三角函数或反三角函数。

反三角函数导数的应用

三角函数及其导数,以及反三角函数及其导数构成了基本函数和运算清单的一部分,用作构建块,用于创建更复杂的函数。

虽然三角函数在应用中会比反三角函数更频繁地出现,但后者在微积分中也有明显的地位,尤其是在微分和使用部分分数分解法时。

技巧和窍门

不要忘记,反三角函数的导数可能非常有用,尤其是在对具有二次分母的项求积分时。

此外,根据定义计算反三角导数时很容易出错,使用 衍生品计算器 它将显示步骤,或者您可以使用它来检查您的工作。

示例：反三角导数

计算以下的导数\(f(x) = x + \arcsin(x^2)\)的导数

解决方案： 对于第一个示例,我们将分析 \(\displaystyle f(x)=x+\arcsin\left(x^2\right)\)。该函数涉及一个反三角函数,与另一个函数复合。让我们计算它的导数：

回答 ：我们可以得出结论,函数的导数是：

\[f'(x) = \frac{2x+\sqrt{1-x^4}}{\sqrt{1-x^4}}\]

我们可以在下图中看到函数及其导数：

例子：更多的反三角导数

考虑以下函数：\(f(x) = \frac{\arcsin(x)}{x}\),计算其导数。

解决方案： 现在对于第二个例子,我们有函数\(\displaystyle f(x)=\frac{\arcsin\left(x\right)}{x}\)。

最后的结论 ：我们要找的导数是：

\[f'(x) = \frac{-\left(\sqrt{1-x^2}\cdot\arcsin\left(x\right)-x\right)}{\sqrt{1-x^2}\cdot x^2}\]

从图形上看,我们有以下内容：

反三角导数示例

计算以下的导数\(f(x) = x \arctan(x+1)\)的导数

解决方案： 现在对于最后一个示例,我们将使用函数 \(\displaystyle f(x)=x\arctan\left(x+1\right)\),它包含一个反函数。

结论 ：化简后导数为：

\[f'(x) = \frac{x^2\arctan\left(x+1\right)+2x\arctan\left(x+1\right)+x+2\arctan\left(x+1\right)}{x^2+2x+2}\]

根据找到的结果,我们可以为 f 和 f' 构造如下图：

其他微积分计算器

使用时 三角导数 ,我们说它们是应用基础知识的重要组成部分 衍生品规则 .

反三角函数的导数可以简单地从 衍生品 的基本三角导数,这就是为什么我们也将它们视为要学习甚至记忆的基本导数组。