Уравнение окружности калькулятор
Инструкции: Используйте данный калькулятор для расчета формулы окружности, заданной радиусом и координатами x и y ее центра. Введите необходимую информацию в поля ниже.
Подробнее об этом уравнении окружности калькулятор
Данный калькулятор позволит вам получить уравнение окружности в стандартной форме и в общая форма , где показаны все шаги. Вам необходимо указать правильный радиус окружности (правильное положительное числовое выражение), а также координаты x и y ее центра.
Числовые выражения, которые вы предоставите, могут быть чем-то вроде '1/2' или составным выражением вроде '1/3+1/4'. Обратите внимание, что радиус должен быть положительным.
После того, как вы предоставите необходимую информацию с правильными данными, вам нужно будет нажать на кнопку "Рассчитать", и все этапы расчетов будут показаны вам.
Самый простой способ действовать в этом случае - сначала получить стандартная форма окружности с предоставленными данными, а затем просто расширить это выражение, чтобы получить общая форма уравнения окружности .
Вас также могут интересовать противоположные процессы, вы можете захотеть начать с общего уравнения и найдите его центр и радиус .
Что такое уравнение окружности
Уравнение окружности - одно из самых известных уравнений в математике, которое задается следующей формулой:
\[\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]В приведенной выше формуле r представляет собой радиус окружности и \((x_0, y_0)\) является его центром.
Существует особый случай, когда центром уравнения является начало координат (0, 0), в этом случае формула уравнение окружности уменьшается до:
\[\displaystyle x^2 + y^2 = r^2 \]И это помимо того, что центром уравнения является начало координат (0, 0), мы имеем, что радиус равен r = 1, мы имеем простейший возможный случай, известный как единичная окружность :
\[\displaystyle x^2 + y^2 = 1 \]Каковы шаги для нахождения уравнения окружности
- Шаг 1: Определите радиус окружности r. Если он не указан, просто оставьте его равным r
- Шаг 2: Определите координаты центра окружности X0 и Y0
- Шаг 3: Как только вы узнали радиус и центр, просто подставьте их в формулу Используйте формулу сложения \(\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\)
- Шаг 4: Если центр окружности находится в начале координат (0, 0), используйте упрощенную версию \(\displaystyle x^2 + y^2 = r^2\), где все, что вам нужно знать, это радиус r
Обратите внимание, что вышеописанный процесс заключается в нахождении уравнения окружности с заданными центром и радиусом. Другой способ получить уравнение окружности - начать с общего уравнения окружности, а затем сгруппировать и обработать выражение так, чтобы найти радиус и центр.
Уравнение окружности с пояснениями
У уравнения окружности есть два пути, обратных и в плане формулировки, и в плане интерпретации. С одной стороны, если вы знаете радиус r окружности и ее центр \((x_0, y_0)\), можно сказать, что вы уже знаете все, что вам нужно знать об окружности, по крайней мере, геометрически.
То есть, зная радиус и центр, вы можете нарисовать окружность. Также вы можете написать
\[\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]и сказать "это уравнение окружности", но из известных радиуса и центра вы уже знаете все, что вам нужно было знать об этой окружности.
С другой стороны, что если бы вы получили уравнение, подобное этому?
\[\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]В таком случае вы знаете, что r - это радиус, а \((x_0, y_0)\) - его центр. Почему? Ну, это следует непосредственно из Теорема Пифагора .
Общее уравнение окружности калькулятор
Если уравнение дано в стандартной форме, вы будете знать все, что нужно знать об окружности, потому что вам напрямую известны радиус и центр. Но что если вам дано общее уравнение?
- Шаг 1: Определите заданное общее уравнение. Это должно быть уравнение, квадратичное по x и y, иначе вы не сможете продолжить
- Шаг 2: Получив общее уравнение, убедитесь, что коэффициенты умножения x^2 и y^2 одинаковы, иначе вы не сможете продолжить
- Шаг 3: После того, как у вас есть действительное общее уравнение, вы выполняете процедуру Заполните квадраты процедура для x и y
- Шаг 4: Получив стандартное уравнение путем заполнения квадратов и перестановки членов, вы определяете центр и радиус напрямую
Процедура заполнения квадрата может быть утомительной, но она является систематической, и ее проведение не должно быть слишком сложным.
Каково простейшее уравнение окружности?
Простейшим уравнением окружности является уравнение единичная окружность , и она задается выражением \(x^2+y^2 = 1\). Все остальные окружности могут быть получены на основе единичной окружности путем преобразований и расширений или сужений.
Однако центром всех кругов является единичный круг, который прочно укоренился в алгебре и тригонометрии.
Пример: вычисление уравнения окружности
Вычислите следующее: Уравнение окружности с радиусом r = 3 и центром (3, -4).
Решение:
Нам нужно найти стандартную форму окружности, где заданный радиус равен \(r = \displaystyle 3\), а заданный центр - \(\left(\displaystyle 3, -4 \right)\).
Уравнение окружности в стандартной форме имеет следующую структуру:
\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]где \(x_0\) и \(y_0\) - соответствующие координаты x и y центра, а \(r\) - радиус. Таким образом, для полного определения стандартной формы окружности нам нужно лишь четко определить центр и радиус и подставить их в приведенную выше формулу.
В данном случае из предоставленной информации мы уже знаем, что \(x_0 = \displaystyle 3\) и \(y_0 = \displaystyle -4\), и \(r = 3\). Подставляя эти данные, получаем:
\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-3\right)^2+\left(y-\left(-4\right)\right)^2=3^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=9 \]Теперь переносим константу, находящуюся в правой части, в левую с отрицательным знаком и упрощаем. Получается следующее:
Таким образом, из приведенного выше упрощения находим, что уравнение окружности в общем виде имеет вид:
\[\displaystyle x^2+y^2-6x+8y+16 = 0\]На этом расчеты завершены. Мы выяснили, что уравнение окружности в стандартном виде равно \(\displaystyle \left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=9\). Также было установлено, что общая форма окружности в данном случае - \(\displaystyle x^2+y^2-6x+8y+16 = 0\).
Пример: подробнее о нахождении уравнения окружности
Вычислите следующее: \(\frac{1}{3} + \frac{5}{4} - \frac{5}{6}\)
Решение:
чем завершается расчет.
Пример: вычисления уравнения окружности
Рассчитайте \( \left(\frac{2}{3} \times \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5} \).
Решение:
чем завершается расчет.
Другие полезные калькуляторы окружностей
Окружности и их свойства играют важнейшую роль в математике. Что можно сделать с помощью формула окружности ? Много! Например, вы можете использовать формула для площади круга или также использовать его формула окружности чтобы получить площадь и периметр, соответственно.
В кругах есть то, что неотъемлемо присуще математике. Его совершенная симметрия и тесная связь с \(\pi\) превратили их в увлекательный объект изучения для математиков всех времен.
