Единичный круг
единичная окружность — один из самых узнаваемых объектов математики, и он широко применяется в нескольких математических предметах, включая алгебру, исчисление, геометрию и тригонометрию.
Действительно, единичный круг — одна из наиболее часто используемых "лабораторий" для понимания многих математических концепций. Единичный круг пересекает алгебру (с уравнением окружности), исчисление (с наклонами, касательными линиями и площадями), геометрию (с углами, треугольниками и теоремой Пифагора) и тригонометрию (синус, косинус, тангенс) в одном месте.
Что такое единичный круг?
Название говорит об этом ясно: единичный круг представляет собой круг радиуса \(r=1\), который для удобства считается центром координат \((0, 0)\). Обратите внимание, что речь идет о двумерном случае.
Углы и единичный круг
Единичный круг или круг любого радиуса — очень практичный способ работы с углами. Напомним, что мера угла пропорциональна длине окружности, которую охватывает угол.
Например, если угол охватывает четверть окружности и его начало совпадает с центром круга, то размер угла составляет четверть меры полного угла, то есть 360/4 = 90. О если измерено в градусах, или \(2\pi/4 = \pi/2\), если измерено в радианах
.Существуют и другие обстоятельства, при которых начало угла не совпадает с центром круга, как в случае с графиком ниже:
Тригонометрические функции и единичный круг
Использование единичного круга очень полезно для работы с тригонометрическими функциями. Действительно, оказывается, что если у нас есть точка \((x,y)\) в круге радиусом \(r\), то мы имеем
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]где \(\alpha\) — угол, показанный на рисунке ниже:
Но когда \(r = 1\), то есть когда радиус равен 1 (что имеет место в единичном круге), мы находим, что
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
Поэтому работать с тригонометрическими функциями гораздо проще, когда радиус окружности равен 1, и тогда все становится гораздо нагляднее. И мы можем использовать мнемонические правила, такие как "синус угла — противоположная сторона" и "косинус угла — это прилежащая сторона".
Уравнение единичного круга
Итак, большой вопрос: какова формула единичного круга? Для единичного круга с центром в начале координат любая точка \((x, y)\) на нем удовлетворяет уравнению:
\[\large x^2 + y^2 = 1\]Любая пара \((x, y)\), принадлежащая кругу радиуса 1, должна удовлетворять вышеуказанному. Если точка \((x, y)\) не удовлетворяет вышесказанному, то она не принадлежит окружности.
Какова вообще формула единичного круга?
Приведенная выше формула представляет собой простейший случай единичного круга с центром в начале координат. Если вы хотите вычислить формулу окружности в целом, для единичного круга с центром \((x_0, y_0)\), нам нужно использовать следующую формулу:
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]Для этого более общего случая вы можете использовать это калькулятор уравнения окружности , который показывает все этапы получения формулы окружности из подходящего квадратного уравнения.
Как быстро запомнить единичный круг?
Хотя это не является строго необходимым, может оказаться полезным запомнить примечательные углы единичного круга. Учитывая легкость доступа к научным калькуляторам, это упражнение кажется ненужным, но оно определенно помогает вам понять единичный круг.
Естественно, вы не сможете выучить ВСЕ известные углы (или, возможно, сможете), но, по крайней мере, полезно знать самые замечательные кратные \(\pi\), такие как \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\) и т. д.
Почему его называют единичным кругом?
Ответ на это прост: единичной окружностью она называется потому, что, во-первых, это окружность, а во-вторых, она имеет радиус, равный 1. Итак, единица или унитарный часть исходит из того, что радиус равен 1.
В алгебре, исчислении и аналитической геометрии необходимо использовать уточняющую "единицу", поскольку не все круги, с которыми мы имеем дело, на самом деле являются единичными кругами. Однако в тригонометрии, когда вы упоминаете круг, вы обычно по умолчанию говорите о единичном круге, если это не указано явно.
Является ли единичный круг бесконечным?
Есть несколько способов ответить на этот вопрос, и ответы различаются. В смысле площади единичный круг не бесконечен, поскольку его площадь равна \(\p\).
Теперь можно утверждать, что единичный круг образован бесконечным числом точек, и это правда, и это будет означать, что он в некотором смысле "бесконечен".
Таким образом, ответ действительно зависит от того, что вы определяете как "бесконечное".
ПРИМЕР 1
Принадлежит ли точка \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) единичному кругу?.
Отвечать:
Нам нужно убедиться, что точка удовлетворяет уравнению, определенному выше. Мы получаем:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]Итак, в этом случае точка \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) принадлежит единичному кругу.
Пример 2
Принадлежит ли точка \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) единичному кругу?.
Отвечать:
Нам нужно проверить, удовлетворяет ли точка уравнению, определенному выше. Мы получаем:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]Итак, в этом случае точка \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) НЕ принадлежит единичному кругу.
Подробнее о unit circle
Один из вопросов, которые я всегда получаю, заключается в том, описывает ли уравнение единичной окружности функцию. Ответ - нет. Действительно, вместо этого уравнение единичной окружности определяет отношение.
Есть как минимум два способа узнать это. Самым любимым среди студентов является "тест по вертикальной линии". У нас есть следующий график:
Посмотрите на график выше, и мы видим, что у нас есть вертикальная линия, пересекающая график более чем в одной точке. Вывод состоит в том, что график представляет собой отношение, а не функцию.
Теперь, если вы хотите узнать, что происходит, когда радиус не равен 1 и круг не центрирован в начале координат, ознакомьтесь с нашим руководством по общим вопросам. уравнение окружности , в котором рассматривается общий случай.
Как преобразовать единичный круг?
Единичный круг можно преобразовать, изменив его центр и радиус. Конечно, поступая так, вы приходите к чему-то, что является не единичным кругом, а общий круг вместо этого.
Эти изменения центра и радиуса можно рассматривать геометрически как перемещение и растяжение соответственно.
Функция единицы и тригонометрические функции
Единичная окружность тесно связана со всеми тригонометрическими функциями. Синус и косинус непосредственно представлены сторонами треугольников с вершинами на окружности. Кроме того, измерение углов в радианах четко связано с углом и длиной создаваемой дуги.
Радианы — это естественная мера угла для кругов, хотя некоторым людям удобнее использовать градусы. Использовать это перевод радианов в градусы для выполнения любых желаемых преобразований, если вам удобнее использовать градусы вместо радианов