Подробнее об этом законе косинусов

Этот калькулятор позволяет решить треугольник, используя закон косинусов. Чтобы дать калькулятору то, что ему нужно, вам нужно предоставить две стороны и угол между ними.

После предоставления достоверной информации для начала работы просто нажмите "Рассчитать", и вам будут показаны этапы расчета.

Что такое закон косинусов?

Закон косинусов — это фундаментальное тригонометрическое тождество, используемое для нахождения длин сторон или углов в любом треугольнике, а не только в прямоугольных. Он распространяет теорему Пифагора на все типы треугольников, включая косинус одного из его углов.

Закон косинусов можно рассматривать как обобщенную теорему Пифагора, которая принимает точно такую же форму, когда соответствующий угол равен 90 градусам, поскольку косинус 90 градусов равен нулю.

Понимание формулы закона косинусов

Закон косинусов имеет три основные формулы или, лучше сказать, три различных выражения формулы, каждое из которых соответствует одной стороне треугольника:

• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

Здесь \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, а \(A\), \(B\) и \(C\) — противолежащие углы к этим сторонам соответственно.

Обратите внимание, что вы могли видеть версию закона косинусов, похожую на \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)\), но это своего рода ненужная штуковина для тупых углов. На самом деле нет необходимости разбивать правило на различные случаи, когда знак \(cos(C)\) идеально учитывает все возможные случаи.

Как использовать закон косинусов

Шаги для расчета стороны

Вот шаги, чтобы найти длину стороны с помощью теоремы косинусов:

• Определите известные стороны и углы в вашем треугольнике. Вам нужны две стороны и угол, образованный этими двумя сторонами.
• Выберите формулу, которая включает сторону, которую вы хотите найти. Выбранная формула будет иметь недостающую сторону слева
• Подставим известные значения в формулу.
• Найдите неизвестную сторону.

Когда следует использовать закон косинусов?

Закон косинусов особенно полезен, когда:

• Вы знаете две стороны и угол между ними ( САС ).
• Вы знаете все три стороны и вам нужно найти угол ( ССС ).
• Треугольник не является прямоугольным, и вам нужно найти сторону или угол.

Примеры закона косинусов в действии

Вот несколько практических примеров, которые вы могли бы решить:

• Пример 1: Если \(a = 5\), \(b = 6\) и \(C = 60^\circ\), найдите \(c\).
• Пример 2: Даны \(a = 7\), \(b = 8\) и \(c = 9\). Найдите угол \(A\).

Доказательство закона косинусов

Закон косинусов можно вывести из Теорема Пифагора рассматривая треугольник с высотой, проведенной из одной из его вершин. Это сложнее, чем это, но его эскиз:

• Постройте прямоугольный треугольник внутри исходного треугольника.
• Применим теорему Пифагора к этому меньшему треугольнику.
• Соотнесите косинус угла со сторонами треугольника.

Сравнение закона косинусов с теоремой пифагора

В то время как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам, закон косинусов:

• Работает для всех треугольников.
• Включает в себя косинус угла , что делает его более универсальным.
• Может использоваться для нахождения как углов, так и сторон.

Использование калькулятора закона косинусов

Онлайн-калькуляторы могут упростить процесс, особенно наш калькулятор, который показывает этапы процесса:

• Введите известные значения в калькулятор.
• Выберите сторону или угол, который вы хотите найти.
• Калькулятор выдаст результат на основе формулы закона косинусов.

Каковы правила закона косинусов?

Правила закона косинусов включают в себя:

• Это применимо к любому треугольнику, а не только к прямоугольным. Случай прямоугольных треугольников — это простейший случай закона косинусов.
• Косинус угла должен быть в диапазоне от -1 до 1.
• Когда угол равен 90 градусам, формула упрощается до теоремы Пифагора, поскольку косинусная часть становится равной 0.

Какое уравнение представляет собой закон косинусов?

Нет ОДНОГО уравнения, представляющего закон косинуса. Уравнение, представляющее закон косинуса для стороны \(c\), следующее:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

С другой стороны, уравнение, представляющее теорему косинусов для стороны \(b\), имеет вид:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\]

и уравнение, представляющее теорему косинусов для стороны \(a\), имеет вид:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

Что такое теорема косинусов простыми словами?

Проще говоря, правило косинусов гласит, что квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон и косинуса угла между ними.

Как теорема косинусов помогает в решении треугольников?

Закон косинусов позволяет:

• Найдите любую сторону, если вам известны две стороны и угол между ними, как в случае с этим калькулятором.
• Определите любой угол, когда вы знаете все три стороны. Обычно вы решаете для одной стороны, используя теорему косинуса, но определенно можете решить для угла.
• Решайте для углов или сторон в непрямоугольных треугольниках, где теорема Пифагора неприменима. Фактически, непрямоугольные треугольники являются основным применением, которое вы найдете для нее.

Можно ли применить теорему косинусов к любому треугольнику?

Да, закон косинусов можно использовать для любого треугольника, будь то остроугольный, прямоугольный или тупоугольный, что делает его универсальным инструментом в тригонометрии. Вы можете иметь симметрию или сделать треугольник разносторонним, закон косинусов всегда применим.

Иногда теоремы косинусов недостаточно для полного вычисления треугольника, и, возможно, необходимо использовать теорему синусов (вспомните треугольник ААС случай).

Каковы три формулы закона косинусов?

Три формулы закона косинусов:

• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

Обратите внимание, что эти формулы основаны на выборе любой из сторон в качестве противоположной стороны. Это немного отличается, когда вы работаете с прямоугольным треугольником.

Исследуйте дальше с помощью соответствующих калькуляторов

Понимание закон косинусов может быть значительно улучшено путем изучения связанных тригонометрических концепций. Например, если вы имеете дело с углами в своих расчетах, вы можете обнаружить, Формула Двойного Угла полезно для упрощения выражений или решения уравнений, содержащих углы.

Кроме того, визуализация поведения косинуса при различных углах может быть достигнута с помощью нашего График Cos калькулятор, предоставляющий графическое представление, которое может помочь в понимании периодичности и амплитуды функции.

При работе с треугольниками знание сторон и углов часто может привести к более сложным вычислениям. Наши Калькулятор треугольника с двумя углами и одной противолежащей стороной может помочь вам решить для оставшихся сторон и углов, что особенно полезно при применении закона косинусов в реальных задачах. Более того, для более широкого спектра тригонометрических вычислений, наши Триггерный Калькулятор предлагает полный набор инструментов для решения различных тригонометрических тождеств и уравнений.