द्विघात समीकरणों का फैक्टर

यह कैलकुलेटर आपको आपके द्वारा प्रदान किए गए द्विघात समीकरण के कारक अपघटन की गणना करने की अनुमति देता है।आपको एक वैध द्विघात फ़ंक्शन प्रदान करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए 5/4 x^2 + 3x +1, लेकिन आप एक द्विघात फ़ंक्शन भी प्रदान कर सकते हैं जो पूरी तरह से सरल नहीं है, जैसे कि 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/उदाहरण के लिए, 5 + 1/4 x, बशर्ते कि द्विघात समीकरण मान्य हो।

सहज रूप में, तमाम के साथ कसकर संबंधित है तमाम , और हम देखेंगे कि कारकों में जड़ों को द्विघात समीकरण के लिए आसानी से होता है।

दरअसल, एक द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजना आमतौर पर एक द्विघात कार्य को कारक करने का सबसे आम तरीका है।अन्य विधि तर्कसंगत शून्य विधि का उपयोग कर रही है।

एक द्विघात कारक कैसे करें?

फैक्टरिंग द्विघात समीकरणों के लिए कम से कम दो व्यवस्थित दृष्टिकोण हैं।सबसे आम तरीकों में से एक पहले द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की विधि है:

• चरण 1: दिए गए द्विघात कार्य को पहचानें, और यदि आवश्यक हो तो इसे पूरी तरह से सरल करें
• चरण 2: सुनिश्चित करें कि फ़ॉर्म f (x) = ax - + bx + c में फ़ंक्शन सुनिश्चित करें
• चरण 3: द्विघात सूत्र का उपयोग करें: << XYZ >> जड़ों को खोजने के लिए << XYZ >> और << xyz >>
• चरण 4: फैक्टरकरण का उपयोग द्विघात सूत्र का उपयोग किया जाता है: f (x) = ax = + bx + c = a (x - x₁) (x -x₂)
• चरण 5: उपरोक्त विधि काम करती है कि जड़ें वास्तविक हैं या नहीं

तो दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरणों की जड़ें मोनोमियल शब्दों में वहीं दिखाई देती हैं।

तर्कसंगत शून्य के साथ द्विघात कारक कैसे करें?

तर्कसंगत शून्य एक प्रमेय है जो हमें संभावित तर्कसंगत उम्मीदवारों की एक सूची खोजने की अनुमति देता है जो द्विघात समीकरण की जड़ें हो सकती हैं, और इसलिए, उनका उपयोग समीकरण को कारक करने के लिए किया जा सकता है।

तर्कसंगत शून्य प्रमेय क्या कदम हैं?

• चरण 1: दिए गए द्विघात कार्य को पहचानें, और यदि आवश्यक हो तो इसे पूरी तरह से सरल करें
• चरण 2: सुनिश्चित करें कि फ़ॉर्म f (x) = ax - + bx + c में फ़ंक्शन सुनिश्चित करें
• चरण 3: सी और ए के पूर्णांक (सकारात्मक और नकारात्मक) दिव्य का पता लगाएं।फिर सी के हर एक भुजे को लें और इसे हर एक विभाजक द्वारा विभाजित करें।यह आपके तर्कसंगत उम्मीदवारों की सूची बनाता है
• चरण 4: उपरोक्त सूची में प्रत्येक तत्व के माध्यम से जाएं, और जांचें कि वे दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं या नहीं

यह विधि ज्यादातर मामलों के लिए काम करती है, लेकिन केवल तब जब संबंधित तमाम तर्कसंगत जड़ें हैं।

फैक्टरिंग द्वारा द्विघात को हल करें

जैसा कि हमने ऊपर देखा है, फैक्टरिंग द्वारा क्वाड्रेटिक्स को हल करना कसकर द्विघात को फैक्टरिंग से संबंधित है, और वास्तव में, वे समान प्रक्रिया हैं।

वास्तव में, यदि हम एक द्विघात कार्य को कारक बनाने में कामयाब रहे हैं, तो हमें बस मोनोमियल शब्दों को देखना होगा और जड़ों को तुरंत प्राप्त करना होगा।।

और इसके विपरीत, अगर हमें जड़ें मिल गई हैं, तो हम जानते हैं कि कारक केवल एक (x - x₁) (X -X₂) है।

उदाहरण: फैक्टरकरण विधि उदाहरण

फैक्टरलाइज़: \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)

समाधान:

हमें निम्नलिखित द्विघात अभिव्यक्ति के साथ प्रदान किया जाता है: \(\displaystyle x^2-3x-5\)।

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें कारक के लिए प्रयास करने की आवश्यकता है \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]

अब, हमें उन पूर्णांक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है जो \(a\) और \(c\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों के कारक बनने के लिए किया जाएगा।

\(a = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

\(c = -5\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 5\)।

इसलिए, \(c = -5\) के प्रत्येक विभक्त को \(a = 1\) के प्रत्येक विभक्त द्वारा विभाजित करते हुए, हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को कारक मानते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

तो, कोई भी उम्मीदवार एक जड़ नहीं है, और इसलिए, यह विधि हमें कारकों को खोजने की अनुमति नहीं देती है।

Using the quadratic formula

चूंकि हम संभावित तर्कसंगत उम्मीदवारों का उपयोग करके जड़ें नहीं पा सके, इसलिए हम केवल द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं।निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

फॉर्म के एक द्विघात समीकरण के लिए \(a x^2 + bx + c = 0\), जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, वह है \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-5\right) = 29\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण लगता है \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\), जो सकारात्मक है, हम जानते हैं कि समीकरण में दो अलग -अलग वास्तविक जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]

इसलिए, दिए गए समीकरण \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) की दो अलग -अलग वास्तविक जड़ें हैं, जो \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) और \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) हैं।

इसलिए, यह देखते हुए कि दो वास्तविक जड़ें हैं, दिए गए द्विघात फ़ंक्शन को फैक्टर किया जा सकता है

\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]

उदाहरण: द्विघात अभिव्यक्तियों को फैक्टरिंग

के कारक की गणना करें: \( 3x^2 - 2x + 15\)।क्या कारक वास्तविक है?

समाधान:

हमें निम्नलिखित द्विघात अभिव्यक्ति के साथ प्रदान किया जाता है: \(\displaystyle 3x^2-2x+15\)।

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें कारक के लिए प्रयास करने की आवश्यकता है \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]

अब, हमें उन पूर्णांक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है जो \(a\) और \(c\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों के कारक बनने के लिए किया जाएगा।

\(a = 3\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 3\)।

\(c = 15\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\)।

इसलिए, \(c = 15\) के प्रत्येक विभक्त को \(a = 3\) के प्रत्येक विभक्त द्वारा विभाजित करते हुए, हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को कारक मानते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:&    & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:&    & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

तो, कोई भी उम्मीदवार एक जड़ नहीं है, और इसलिए, यह विधि हमें कारकों को खोजने की अनुमति नहीं देती है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करना

चूंकि हम संभावित तर्कसंगत उम्मीदवारों का उपयोग करके जड़ें नहीं पा सके, इसलिए हम केवल द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं।निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

फॉर्म के एक द्विघात समीकरण के लिए \(a x^2 + bx + c = 0\), जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, वह है \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(15\right) = -176\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण लगता है \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\), जो नकारात्मक है, हम जानते हैं कि दिए गए समीकरण में दो अलग -अलग संयुग्मन जटिल जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]

इसलिए, दिए गए समीकरण \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) में दो अलग -अलग संयुग्मन जटिल जड़ें हैं, जो \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) और \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\) हैं।

इसलिए, यह देखते हुए कि दो जटिल जड़ें हैं, दिए गए द्विघात कार्य में निम्नलिखित जटिल कारक हैं:

\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]

उदाहरण: द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए

कारक द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण को हल करें: \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \)।

समाधान:

हमें निम्नलिखित द्विघात अभिव्यक्ति के साथ प्रदान किया जाता है: \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\)।

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें कारक के लिए प्रयास करने की आवश्यकता है \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]

अब, हमें उन पूर्णांक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है जो \(a\) और \(c\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों के कारक बनने के लिए किया जाएगा।

\(a = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

गुणांक \(c = \frac{9}{4}\) में पूर्णांक डिवाइडर नहीं है।

इसलिए, हम कारकों को खोजने के लिए इस पद्धति का उपयोग नहीं कर सकते।

द्विघात सूत्र का उपयोग करना

चूंकि हम संभावित तर्कसंगत उम्मीदवारों का उपयोग करके जड़ें नहीं पा सके, इसलिए हम केवल द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं।निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

फॉर्म के एक द्विघात समीकरण के लिए \(a x^2 + bx + c = 0\), जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, वह है \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(\frac{9}{4}\right) = 0\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण लगता है \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\), जो शून्य है, हम जानते हैं कि समीकरण में केवल एक वास्तविक जड़ है।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[x = -\frac{3}{2}\]

इसलिए, दिए गए समीकरण \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) में केवल एक वास्तविक जड़ है, जो \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\) है।

इसलिए, यह देखते हुए कि केवल एक वास्तविक जड़ है, दिया गया द्विघात फ़ंक्शन को माना जा सकता है

\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]

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