मूल समीकरणों को हल करना

यह रेडिकल समीकरण सॉल्वर आपको प्रक्रिया के सभी चरणों को दिखाते हुए बीजगणितीय रूप से हेरफेर करके, आपके द्वारा प्रदान किए गए रेडिकल समीकरणों को संभालने की अनुमति देता है।

यह सॉल्वर जड़ों से जुड़े किसी भी वैध समीकरण को स्वीकार करेगा, जैसे कि 'sqrt(x) = 1', या ऐसा कुछ जिसे हल करना बहुत कठिन हो सकता है जैसे 'sqrt(x+3) = x^2 - 1'।

एक बार एक वैध रेडिकल समीकरण प्रदान कर दिए जाने के बाद, आपका काम मूल रूप से पूरा हो गया है और जो कुछ करना बाकी है वह "हल करें" पर क्लिक करना है ताकि दिखाई गई प्रक्रिया के सभी चरण प्राप्त हो सकें।

मूलांक समीकरण का समाधान प्रबल प्रभावी पर निर्भर करता है अभिव्यक्ति का बीजगणितीय हेरफेर , मूलतः कट्टरपंथी भाग से छुटकारा पाने के लिए।

मूलांक समीकरण क्या है

अत्यंत सरल शब्दों में कहें तो रेडिकल समीकरण एक प्रकार है गणित समीकरण जिसमें अज्ञात (आमतौर पर x) एक रेडिकल के अंदर होता है। उदाहरण के लिए

\[\displaystyle \sqrt x = x^2 \]

\( \sqrt x\) शब्द के कारण, एक मूल समीकरण है, लेकिन समीकरण

\[\displaystyle 2 x = x^2 \]

उदाहरण के लिए, यह एक रेडिकल समीकरण नहीं है, क्योंकि हम समीकरण में कहीं भी रेडिकल का x अंदरूनी सूत्र नहीं बता सकते।

रेडिकल समीकरणों को कैसे हल करें

यदि आप इन चरणों का पालन करें तो मूल समीकरणों को हल करना कठिन नहीं है:

कभी-कभी, उचित समूहीकरण और सरलीकरण के बावजूद, कट्टरपंथियों को पूरी तरह से समाप्त करना संभव नहीं होगा, या यह और भी अधिक जटिल समीकरण को जन्म देगा।

रेडिकल समीकरणों को सरल बनाना

जैसा कि हमने ऊपर उल्लेख किया है, जड़ों से जुड़े समीकरणों की सफल गणना दृढ़ता से सक्षम होने पर निर्भर करती है कट्टरपंथियों को सरल बनाएं . लेकिन कभी-कभी यह पर्याप्त नहीं होगा क्योंकि सभी घटित होने वाले रेडिकल्स को सरल बनाने से वे गायब नहीं होंगे। सबसे आम तरीका रेडिकल को कम करना और फिर रेडिकल को रद्द करने के लिए वर्ग (2 की शक्ति) लागू करना है।

लेकिन कट्टरपंथी से छुटकारा पाने के लिए वर्ग करना एक दोहरी तलवार की धार है, क्योंकि वर्ग करने से कोई भी प्रासंगिक संकेत गायब हो सकता है। यही वह है जब रेडिकल को "खत्म" करते समय और सहायक समीकरण के समाधान ढूंढते समय, हमें दोबारा जांच करनी चाहिए कि सहायक समाधान भी मूल समीकरण के समाधान हैं। कई बार वे नहीं होते.

रेडिकल को ख़त्म करने की प्रक्रिया को देखने का दूसरा तरीका एक उपयुक्त प्रतिस्थापन का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, मूल समीकरण के लिए:

\[\displaystyle \sqrt x = x \]

हो सकता है कि आप \(u = \sqrt x\) सेट करना चाहें, तो फिर \(u^2 = (\sqrt x)^2 = x\), ताकि मूल समीकरण निम्नलिखित सहायक समीकरण में बदल जाए:

\[\displaystyle \sqrt x = x \Rightarrow u = u^2\]

जो एक बहुपद समीकरण है जिसे हम हल कर सकते हैं। तो फिर, प्रतिस्थापन का उपयोग एक ऐसे समीकरण की ओर ले जाता है जिसे हम नहीं जानते कि कैसे हल किया जाए एक बहुपद समीकरण को हल करना जिसे हम जानते हैं कि किसे हल करना है।

हम मूल समीकरणों की परवाह क्यों करते हैं?

रेडिकल समीकरण बीजगणित और कैलकुलस में सामान्य रूप से दिखाई देते हैं, क्योंकि वे कई अलग-अलग घटनाओं के मॉडलिंग का आधार हैं।

जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है, रेडिकल फ़ंक्शन अपने गुणों और धीमी वृद्धि के प्रकार के संदर्भ में दिलचस्प होते हैं।

उदाहरण: मूलांक से जुड़े समीकरणों को हल करना

निम्नलिखित को हल करें: \(\sqrt{x} = 2x\)

समाधान:

हमें निम्नलिखित समीकरण प्रदान किया गया है। हमें इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है जिसमें केवल एक चर है, जो \(x\) है, इसलिए उद्देश्य \(x\) को हल करना है:

\[\sqrt{x}=x^2\]

देखें कि दिए गए बहुपद की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 4\)है, इसका प्रमुख गुणांक \(\displaystyle a_{4} = -1\)है और इसका निरंतर गुणांक \(\displaystyle a_0 = 0\)है।

तर्कसंगत जड़ों का प्रयास

सराय : चूंकि \(p(x)\) में गैर-शून्य गुणांक वाला पहला पद \(x\) है, हम प्राप्त करने के लिए इस पद का गुणनखंड कर सकते हैं

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x = x \left(-x^3+1 \right) \]

लेकिन कोष्ठक में शब्द की डिग्री है जो 2 से अधिक है, इसलिए इसे कारक करने के लिए कोई प्राथमिक सूत्र नहीं है।हमें संभावित तर्कसंगत जड़ों के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है।

अगला कार्य उन पूर्णांक संख्याओं को खोजना है जो अग्रणी गुणांक \(a_{3}\) और स्थिर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं, जिसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों को बहुपद समीकरण के शून्य बनाने के लिए किया जाएगा।

इसलिए, स्थिर गुणांक \(a_0 = 1\) के प्रत्येक विभाजक को अग्रणी गुणांक \(a_{3} = -1\) के प्रत्येक विभाजक से विभाजित करने पर, हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को मूल पाते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle -\left(-1^3\right)+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle -1^3+1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

अँगुला : चूंकि हमारे पास तर्कसंगत उम्मीदवारों के बीच पर्याप्त जड़ें नहीं हैं, इसलिए हम \(\displaystyle -x^3+1\) को तर्कसंगत जड़ों से प्राप्त कारकों के उत्पाद से विभाजित करेंगे, जो कि \(\displaystyle \left(x-1\right) \) है।

Letsunt 1: लाभांश \(\displaystyle p(x) = -x^3+1\) का अग्रणी पद \(\displaystyle -x^3\) है, जबकि भाजक \(\displaystyle s(x) = x-1\) का अग्रणी पद \(\displaystyle x\) के बराबर है।

तो फिर, लाभांश के अग्रणी पद तक पहुंचने के लिए हमें जिस पद को \(x\) से गुणा करना होगा वह \(\displaystyle \frac{ -x^3}{ x} = -x^2\) है, इसलिए हम इस पद को भागफल में जोड़ते हैं। साथ ही, \(\displaystyle -x^2 \cdot \left(x-1\right) = -x^3+x^2\) प्राप्त करने के लिए हम इसे भाजक से गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता होती है:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle +1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1\\[0.3em] \end{array}\]

Their दो दो: अब, वर्तमान शेषफल \(\displaystyle -x^2+1\) का अग्रणी पद \(\displaystyle -x^2\) है, और हम जानते हैं कि भाजक के लिए अग्रणी पद \(\displaystyle x\) है।

तो फिर, वर्तमान शेषफल के अग्रणी पद तक पहुंचने के लिए हमें जिस पद को \(x\) से गुणा करना होगा वह \(\displaystyle \frac{ -x^2}{ x} = -x\) है, इसलिए हम इस पद को भागफल में जोड़ते हैं। साथ ही, \(\displaystyle -x \cdot \left(x-1\right) = -x^2+x\) प्राप्त करने के लिए हम इसे भाजक से गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक में घटाना होगा:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle -x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle +1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \end{array}\]

Theirण 3: अब, वर्तमान शेषफल \(\displaystyle -x+1\) का अग्रणी पद \(\displaystyle -x\) है, और हम जानते हैं कि भाजक के लिए अग्रणी पद \(\displaystyle x\) है।

तो फिर, वर्तमान शेषफल के अग्रणी पद तक पहुंचने के लिए हमें जिस पद को \(x\) से गुणा करना होगा वह \(\displaystyle \frac{ -x}{ x} = -1\) है, इसलिए हम इस पद को भागफल में जोड़ते हैं। साथ ही, \(\displaystyle -1 \cdot \left(x-1\right) = -x+1\) प्राप्त करने के लिए हम इसे भाजक से गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक में घटाना होगा:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle -x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle -1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle +1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

इसलिए, भागफल \(\displaystyle q(x) = -x^2-x-1\) है, और शेषफल \(\displaystyle r(x) = 0\) है।

इसलिए विभाजित करने के बाद, हम कारक के साथ आगे बढ़े हैं

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x = - x \left(x-1\right) \left(-x^2-x-1\right)\]

लेकिन अब, चूंकि पाया गया भागफल \(\displaystyle -x^2-x-1\) द्विघात है, हम यह देखने के लिए इसकी जड़ें ढूंढ सकते हैं कि क्या हम इसे वास्तविक क्षेत्र में गुणनखंडित कर सकते हैं।

हमें निम्नलिखित दिए गए द्विघात समीकरण \(\displaystyle -x^2-x-1=0\)को हल करने की आवश्यकता है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करना

फार्म \(a x^2 + bx + c = 0\)के एक द्विघात समीकरण के लिए, जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है वह \(\displaystyle -x^2-x-1 = 0\)है, जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = -1\] \[b = -1\] \[c = -1\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -1\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right) = -3\]

चूँकि इस मामले में हमें विवेचक \(\Delta = \displaystyle -3 < 0\) मिलता है, जो नकारात्मक है, हम जानते हैं कि दिए गए समीकरण में दो अलग-अलग संयुग्मित जटिल जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{\left(-1\right)^2-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{-2}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[\displaystyle {x}_1 = \frac{1 - i \sqrt{3}}{-2} = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}i\] \[\displaystyle {x}_2 = \frac{1 + i \sqrt{3}}{-2} = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}i\]

इसलिए अंतिम द्विघात भाग की जड़ें खोजने के बाद, हमें दो जटिल जड़ें मिलती हैं, इसलिए हम वास्तविक क्षेत्र में \(-x^2-x-1\) शब्द का गुणनखंड नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम प्रक्रिया को \(\displaystyle p(x) = -x^4+x = - x \left(x-1\right) \left(-x^2-x-1\right)\) के साथ समाप्त करते हैं।

इसलिए, दिए गए बहुपद समीकरण के लिए \(x\) को हल करने से गुणनखंड गणित का उपयोग करके \(x = \, \)\(0\), \(1\), \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}i\), \(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}i\) समाधान प्राप्त होता है।

सहायक समाधानों की जाँच करना

सहायक बहुपद समीकरण से इन समाधानों का परीक्षण करने से पता चलता है कि सभी उम्मीदवार समाधान वास्तव में मूल समीकरण का समाधान नहीं हैं। मूल समीकरण का एकमात्र वास्तविक समाधान हैं:

\[x_1=0 \]
\[x_2=1 \]

इसलिए, दिए गए समीकरण के लिए \(x\) को हल करने से समाधान \(x=0,\,\,x=1\) प्राप्त होता है।

रेखांकन

प्राप्त समाधानों का चित्रमय प्रतिनिधित्व निम्नलिखित है:

जो गणना का समापन करता है।

अन्य उपयोगी समीकरण सॉल्वर

मूल समीकरणों को हल करते समय, उस स्थिति के विपरीत जब आपको इसकी आवश्यकता होती है रैखिक समीकरणों को हल करें या जब आपको आवश्यकता हो द्विघात समीकरण हल करें , उन समीकरणों की श्रेणी में आता है जिन्हें x को हल करने के लिए इतने चतुर बीजगणितीय हेरफेर की आवश्यकता होती है।

दूसरे शब्दों में, आपके पास "इसे इस तरह करो और यह हमेशा काम करेगा" जैसी चीज़ नहीं होगी। आप जिस प्रकार का हेरफेर करेंगे वह समीकरण की संरचना पर निर्भर करेगा, और हर मामले में काफी भिन्न हो सकता है।

Reyr अभिव पहला हमेशा एक अच्छा अभ्यास है, क्योंकि आप उन शब्दों को कम कर देंगे जो समीकरण की समग्र संरचना को अव्यवस्थित कर सकते हैं।