कणों को सरल बनाना
कणों वाले बीजगणितीय अभिव्यक्तियां बहुत आम हैं, और यह जानना महत्वपूर्ण है कि उन्हें सही तरीके से कैसे संभालना है।हमें जो पहला नियम सीखना है वह यह है कि कट्टरपंथियों को हमेशा शक्तियों में परिवर्तित किया जा सकता है, और यही वह ट्यूटोरियल है।
इस ट्यूटोरियल में हम सीखने जा रहे हैं कि कट्टरपंथियों को कैसे सरल बनाना है।
दरअसल, हम हर समय कट्टरपंथियों से निपटते हैं, खासकर \(\sqrt x\) के साथ।एक बात यह है कि हम इस बारे में सोचने के लिए नहीं रोकते हैं कि कट्टरपंथियों को शक्तियों के संदर्भ में रखा जा सकता है।
मैं ऐसा कैसे करूँ?इसकी जांच - पड़ताल करें।आइए पहले \(\sqrt x\) से शुरू करें:
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
तो हमें इस तथ्य के बारे में उत्साहित क्यों होना चाहिए कि कट्टरपंथियों को शक्तियों के संदर्भ में रखा जा सकता है ??
जवाब सरल है: क्योंकि हम उन नियमों का उपयोग कर सकते हैं जिन्हें हम पहले से ही रेडिकल के नियमों को प्राप्त करने के लिए शक्तियों के लिए जानते हैं।
उदाहरण के लिए, \(x, y\ge 0\) दो गैर-नकारात्मक संख्याएं दें।एक नियम जो रेडिकल पर लागू होता है वह है
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]हम कैसे जानते हैं?खैर, बस उपयोग करके एक्स्पोनेंट्स का नियम 6 और एक शक्ति के रूप में कट्टरपंथी की परिभाषा।इसकी जांच - पड़ताल करें:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]उदाहरण 1: निम्नलिखित कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]उत्तर:
दी गई अभिव्यक्ति के आधार पर, हम कट्टरपंथी के अंदर के तत्वों को फिर से लिख सकते हैं
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]रेडिकल के नियम
ऑपरेटिंग रेडिकल के लिए नियम हैं जिनके पास घातीय नियमों के साथ बहुत कुछ करना है (स्वाभाविक रूप से, क्योंकि हमने अभी देखा है कि कट्टरपंथियों को शक्तियों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए यह उम्मीद की जाती है कि इसी तरह के नियम लागू होंगे)।
नियम 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
नियम 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
नियम 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
सबसे अधिक संभावना है कि आपके पास इन नियमों के साथ काम किया गया है, कभी-कभी यह भी नहीं जानता कि आप उनका उपयोग कर रहे थे।
एक विशिष्ट उल्लेख पहले नियम के कारण है।अक्सर बार, आप देखेंगे (या यहां तक कि आपका प्रशिक्षक आपको बताएगा) कि \(\sqrt{x^2} = x\), तर्क के साथ कि "रूट को नष्ट करता है"।एक डिग्री के लिए, यह कथन सही है, लेकिन यह सच नहीं है कि \(\sqrt{x^2} = x\)।दरअसल, हम एक काउंटर उदाहरण दे सकते हैं: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\)।तो इस मामले में, \(\sqrt{x^2} = -x\)।
हकीकत में, क्या होता है कि \(\sqrt{x^2} = |x|\)।यह मामला है जब हमें \(\sqrt{(-3)^2} = 3\) मिलता है, क्योंकि \(|-3| = 3\)।
उदाहरण 2
निम्नलिखित कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]उत्तर:
ऐसी कई चीजें हैं जिन्हें यहां करने की आवश्यकता है।सबसे पहले, हम देखते हैं कि यह एक अंश का वर्ग रूट है, इसलिए हम नियम 3 का उपयोग कर सकते हैं। फिर, नकारात्मक शक्तियां बदल सकती हैं।
संक्षेप में, हम \(y^2\) के रूप में संख्यात्मक में \(y^{-2}\) को संख्यात्मक में ले जा सकते हैं।फिर, हम कुछ शक्तियों को सरल बना सकते हैं इसलिए हमें मिलता है:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]कणों को सरल बनाने के बारे में अधिक जानकारी
निरीक्षण करें कि हमने रेडिकल के नियमों के बारे में विश्लेषण किया और बात की, लेकिन हम केवल वर्ग रूट \(\sqrt x\) पर विचार करते हैं।प्रश्न यह है कि क्या वही नियम अन्य रेडिकल पर लागू होते हैं (जो वर्ग रूट नहीं हैं)?संक्षिप्त उत्तर: हाँ
केवल कट्टरपंथियों के बारे में पूरी चर्चा करने के लिए, हमें निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग करके सामान्य रूप से कणों को परिभाषित करने की आवश्यकता है:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]इस परिभाषा के साथ, हमारे पास निम्नलिखित नियम हैं:
नियम 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), जब \(n\) अजीब है।
नियम 1.2: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = |x|\), जब \(n\) भी है।
नियम 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
नियम 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)