حلال المعادلة التربيعية

سوف تسمح لك هذه الآلة الحاسبة حstab maudadlة trebiebiة التي تقدمها , والتي تظهر جميع الخطوات.كل ما عليك فعله هو توفير معادلة تربيعية صالحة.

يمكن أن يكون شيئًا مبسطًا بالفعل وجاهزًا للحل مثل x^2 + 3x + 5 = 0 , يمكنك توفير شيء ما لا يتم تبسيطه بسهولة مثل 3x^2 - 4x + 5/3 = x^2 + 1/3x -1 , على سبيل المثال.

بمجرد تقديم معادلة تربيعية صالحة , كل ما عليك فعله هو النقر على "حساب" , وسيتم تزويدك بجميع خطوات العملية لحساب جذoer الماعد يتم توفير ذلك.

عادةً ما تستخدم الصيغة التربيعية لحساب المعادلات التربيعية , ولكن هذه ليست الطريقة الوحيدة , كما سنرى في الأقسام التالية.

كيفية حساب المعادلة التربيعية؟

هناك العديد من الاستراتيجيات لحل المعادلات التربيعية.الأكثر استخدامًا هو استخدام الإلهاء .أيضا , يمكنك حلها شتامال الممر , أو يمكنك حلها الصخور وبعد

ما هي خطوات حساب المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية؟

• الخطوة 1: تحديد المعادلة التربيعية التي تريد حسابها
• الخطوة 2: تأكد من أن المعادلة مبسطة بالكامل , وإلا تابع التبسيط , حتى يكون لديك معادلة Form Ax² + Bx + C = 0
• الخطوة 3: بعد تقليل المعادلة إلى شكلها المبسط , يمكنك استخدام الصيغة التربيعية: \(x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

ربما , يعد استخدام صيغة المعادلة التربيعية هي الطريقة الأكثر عملية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية , ولكن هناك أسباب أخرى تجعلك طرقًا أخرى.

كيف تحل معادلة تربيعية عن طريق استكمال المربعات؟

الطريقة الثانية الأكثر شيوعًا لحل المعادلة التربيعية هي استخدام تقنية شتامال الممر .لا توجد حقًا صيغة لاستكمال المربعات (على الرغم من وجودها تقنيًا , بناءً على حلول المعادلة التربيعية) , وهي عملية.

ما هي خطوات استكمال المربعات

• الخطوة 1: تحديد المعادلة التربيعية التي تريد حلها
• الخطوة 2: تحتاج إلى التأكد من أن المعادلة مبسطة بالكامل , وأن لديك معادلة Form Ax² + Bx + C = 0
• الخطوة 3: إضافة وطرح مصطلح مناسب (في هذه الحالة , (B/(2a)) ² لإجبار شروط مربع الحدين

فكرة إجبار ظهور مصطلح النموذج (x + "شيء) , وهو الهدف النهائي المتمثل في إكمال المربعات.

لماذا تستخدم المعادلات التربيعية؟

تظهر المعادلات التربيعية باستمرار في تطبيقات الجبر هي مشاكل في الكلمات.يعد حل المعادلات التربيعية أحد المهارة الأساسية الأساسية التي تحتاجها لاكتسابها.

بعد ذلك , في مجالات مثل حساب التفاضل والتكامل , عند حساب مشاكل التعظيم وتقليلها , ستحتاج إلى معرفة جيدة مع جميع أنواع المعادلات التربيعية.

مثال: حل معادلة تربيعية

حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام الصيغة \(4x^2 + \frac{4}{3}x + 2 = 0\)

الملم: نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية التالية \(\displaystyle 4x^2+\frac{4}{3}x+2=0\).

للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\) , يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle 4x^2+\frac{4}{3}x+2 = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 4\] \[b = \frac{4}{3}\] \[c = 2\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{4}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(4\right)\cdot \left(2\right) = -\frac{272}{9}\]

نظرًا لأننا في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle -\frac{272}{9} < 0\) , وهو أمر سلبي , نعلم أن المعادلة المعطاة لها جذور معقدة مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{4}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2-4\left(4\right)\left(2\right)}}{2\cdot 4} = \displaystyle \frac{-\frac{4}{3} \pm \sqrt{-\frac{272}{9}}}{8}\]

إذن , نجد ذلك:

\[\displaystyle x_1 = \frac{-\frac{4}{3} - i \sqrt{\frac{272}{9}}}{8} = -\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\sqrt{17} i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{-\frac{4}{3} + i \sqrt{\frac{272}{9}}}{8} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\sqrt{17} i\]

لذلك , فإن المعادلة المعطاة \(\displaystyle 4x^2+\frac{4}{3}x+2=0\) لها جذوران معقدة مختلفين , وهما \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\sqrt{17} i\) و \(x_2 = \displaystyle -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\sqrt{17} i\).

بيانياً:

مثال: جذر المعادلة التربيعية

ابحث عن جذور المعادلة التربيعية التالية من خلال استكمال المربعات \(2x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{72} = 0\)

الملم: في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle 2x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{72} = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 2\] \[b = \frac{1}{3}\] \[c = \frac{1}{72}\]

يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(\frac{1}{72}\right) = 0\]

لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\) , وهو صفر , نعلم أن المعادلة لديها جذر حقيقي واحد فقط.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{1}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2-4\left(2\right)\left(\frac{1}{72}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{1}{3} \pm \sqrt{0}}{4}\]

إذن , نجد ذلك:

\[x = \displaystyle \frac{-\frac{1}{3}}{4} = \displaystyle -\frac{1}{12}\]

لذلك , فإن المعادلة المعطاة \(\displaystyle 2x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{72}=0\) لديها جذر حقيقي واحد فقط , وهو \(x = \displaystyle -\frac{1}{12}\).

بيانياً:

مثال: جذور حساب المعادلة

حل ما يلي: \(3x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} = 0\)

الملم: بالنسبة لهذا المثال , فإن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle 3x^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3} = 0\) , لذا فإن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 3\] \[b = \frac{2}{3}\] \[c = -\frac{4}{3}\]

في هذه الحالة , يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{148}{9}\]

نظرًا لأن التمييز هو \(\Delta = \displaystyle \frac{148}{9} > 0\) , وهو أمر إيجابي , فإننا نعلم أن المعادلة سيكون لها جذور حقيقية مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{2}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\left(3\right)\left(-\frac{4}{3}\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{-\frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{148}{9}}}{6}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ x_1 = -\frac{\frac{2}{3}}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{148}{9}}=-\frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9} \] \[x_2 = -\frac{\frac{2}{3}}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{148}{9}}=\frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\]

لذلك , فإن المعادلة المعطاة \(\displaystyle 3x^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}=0\) لها جذور حقيقية مختلفة , وهما \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\) و \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\).

بيانياً:

الحاسبة التربيعية الأخرى المفيدة

كما رأينا في هذا البرنامج التعليمي , شتامال الممر يلعب دورًا أساسيًا في حساب المعادلات التربيعية.أيضا , يمكنك استخدام هذا الإلهال لتقييم طبيعة الجذور (جذور حقيقية , جذر حقيقي , أو جذور معقدة) دون حل المعادلة.

يمكنك أيضا استخدام هذا حAsbة Vertex للعثور على إحداثيات قمة المعادلة التربيعية , و آب un amحor altmaثl .كما يمكنك استكشاف هذا الصخور أداة لاستكشاف طريقة أخرى لحساب المعادلات التربيعية.