إكمال الآلة الحاسبة المربعة

ما معنى إكمال المربع؟حسنًا , الفكرة هي أن يكون لديك مربع لشيء ما.كلما كان لديك تعبير تربيعي للنموذج \(ax^2 + bx + c\) , فأنت تريد الحصول عليه كـ "مربع لشيء ما".

تحليل التعبير , المربع الوحيد الذي ترى ما إذا كان الجزء \(a x^2\) , والذي يحتوي على مربع \(x\) , ولكن بعد ذلك لديك أشياء أخرى جانبا المربع.من الناحية الرياضية , من الممكن دائمًا وضع تعبير تربيعي للنموذج \(ax^2 + bx + c\) باعتباره "مربعًا لشيء ما" , ولكن من المحتمل أن نحتاج إلى إضافة ثابت.

في بعض الأحيان , إذا كان هذا الثابت صفرًا , فسوف نحصل على ما يسمى Merbaud مامتاك وبعد

كيف تكمل المربع؟إكمال المربعات , أو إtقan tlmerbab كما هو معروف أيضًا , هي ببساطة عملية وضع تعبير تربيعي \(ax^2 + bx + c\) في شكل مربع تعبير بسيط , بالإضافة إلى ثابت.الإجراء واضح ومباشر , ويتكون من خطوات مختلفة.

كيف تكمل المربع

الخطوة 1: تأكد من أن التعبير الذي تم تمريره هو تربيعي , مع معامل غير صفري يضاعف المصطلح \(x^2\).إذا لم يكن الأمر كذلك , فلا يمكنك القيام بهذا الإجراء.

الخطوة 2: الآن بعد أن أصبح لديك مصطلح تربيعي مناسب \(ax^2 + bx + c\) , فأنت بحاجة إلى وضع \(a\) (المصطلح الذي يتضاعف << xyz >>).إذا كان << xyz >> , فأنت تتركه كما هو.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

الخطوه 3: الآن سنحتاج إلى إلقاء نظرة على المصطلح الموجود داخل الأقواس (أو المصطلح الأصلي إذا \(a = 1\)).لاحظ أنه من أجل ثابت \(d\) , لدينا \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\).لذلك , نلاحظ ذلك

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

إذن , يكون المصطلح \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) في التعبير أعلاه مشابهًا للغاية لـ \(d\) في \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\).في الواقع , يمكننا أن نفعل

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

هذه العملية تسمى ح al طrayق إكmah أو إtقan tlmerbab وبعد

إكمال الأمثلة المربعة

النظر في التعبير: \(2x^2 + 2x + 1\).أولا , نحن عامل 2 خارج:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

يمكننا إما حفظ الصيغة الواردة أعلاه , أو يمكنك متابعة إجراء "فرض" المربع ". أعتقد أن هذا الأخير هو الخيار الأفضل , لأنه يمكنك بالتأكيد نسيان الصيغة , لكنك لن تنسى الإجراء مرة واحدةتتعلمه. لذا , ننظر إلى المصطلح \(x\) ونجبر 2 أمامه. لذلك نحصل

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

الآن , انظر إلى المصطلح في قوسين على يسار \(x\).نرسل المصطلح ونضيفه ونطرحه: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) , لذلك نحن في الأساس نضيف 0 , لذلك لا يتغير التعبير:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

حتى الآن يمكننا تحديد المصطلحات الثلاثة الأولى كمربع مثالي , لذلك نحصل على:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

لماذا يسمى لماذا هو؟

قد تتساءل لماذا يسمى إجراء إكمال المربع بإكمال المربع؟حسنًا , لقد ذكرت ذلك في البداية , ما نحاول القيام به هو الحصول على تعبير تربيعي وإعادة كتابته على أنه "مربع لشيء ما" , ويتم ذلك عن طريق إضافة الثابت الصحيح حتى نكون حرفيًا "يكمل المربع".من خلال إضافة (وطرح) هذا الثابت , نحصل على مربع مثالي , بالإضافة إلى ثابت , والذي يسمح بالعثور على "مربع شيء" الذي كنا نبحث عنه

حل المعادلات التربيعية عن طريق إكمال المربع

ومن المثير للاهتمام أن إكمال المربع يعادل حل المعادلة التربيعية.في الواقع , إذا أردنا حل

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

نعلم الآن أنه يمكننا إكمال المربع للحصول على:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

نحصل على أن حل المعادلة التربيعية هو نفسه الحل

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

وماذا بعد

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

لذلك يمكنك استخدامها , إذا قمت بإكمال المربع لحل المعادلة التربيعية , فهو نفسه تمامًا مثل استخدام الصيغة التربيعية التقليدية.

الآلات الحاسبة الأخرى ذات الصلة

قد تكون مهتمًا في حASBة الماعدة , إذا كنت ترغب في حساب الجذور باستخدام صيغة المعادلة التربيعية التقليدية.