استخدام حاسبة المضاعف المشترك الأصغر (lcm)

تحسب هذه الآلة الحاسبة المضاعف المشترك الأصغر (أو المعروف أيضًا باسم المضاعف المشترك الأدنى) لقائمة معينة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقدمها. لذا, يتعين عليك تقديم أعداد صحيحة موجبة مثل "4" و"6". لا يمكنك تقديم عدد عشري مثل "3.78", أو كسر مثل "2/3". فقط الأعداد الصحيحة الموجبة ستعمل.

بمجرد توفير قائمة بالأعداد الصحيحة الموجبة, يتعين عليك النقر فوق "حساب", وسوف تظهر لك خطوات حساب المضاعف المشترك الأصغر.

الحساب بسيط للغاية, ويمكن اختصاره في معرفة العوامل الأولية بالنسبة للأرقام, والتي ستؤدي مباشرة إلى حساب GCD , والذي يستخدم بدوره لحساب المضاعف المشترك الأصغر, كما سنرى في القسم التالي.

كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر؟

الإجراء بسيط نسبيًا, ويتضمن التعامل مع العوامل الأولية من الأرقام, ثم ببساطة استخدام تلك العوامل لإنشاء المضاعف المشترك الأصغر (LCM) استنادًا إلى تلك العوامل.

ما هي خطوات حساب المضاعف المشترك الأصغر لقائمة من الأعداد؟

• الخطوة 1: حدد بوضوح قائمة الأعداد الصحيحة المقدمة, وأطلق عليها اسم \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\)
• الخطوة 2: احسب التحليل الأولي لـ \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\), في حالة أن جميع الأرقام أعداد صحيحة موجبة صالحة
• الخطوة 3: احصل على الأعداد الأولية التي تنتمي إلى أي من تحللات الأعداد الأولية, بحيث تجمع الأعداد الأولية التي تظهر في تحلل أي من الأرقام \(a_1\), \(a_2\), ... و \(a_n\)
• الخطوة 4: احسب المضاعف المشترك الأصغر عن طريق ضرب قائمة الأعداد الأولية الموجودة مرفوعة إلى أقصى أس موجود في كل التحليل لكل منها

لماذا نحسب المضاعف المشترك الأصغر؟

المضاعف المشترك الأصغر له تطبيق حاسم ومهم في مجموع الكسور من أجل إيجاد قاسم مشترك.

إن المضاعف المشترك الأصغر الإجمالي هو مفهوم مهم للغاية يظهر بشكل متكرر في الجبر والتخصصات الأخرى. وهناك مفهوم وثيق الصلة هو مفهوم القاسم المشترك الأصغر , الذي يجد القاسم المشترك الأصغر لقائمة الكسور.

طريقة أخرى لحساب المضاعف المشترك الأصغر

قد تبدو طريقة حساب المضاعف المشترك الأصغر مربكة بعض الشيء, ولكن هناك طريقة أبسط للقيام بذلك عند حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين, باستخدام المضاعف المشترك الأكبر. في الواقع, افترض أن لديك عددين \(a\) و\(b\) وتريد الحصول على \(LCM(a, b)\). في هذه الحالة الخاصة, يمكنك استخدام الصيغة التالية

\[ LCM(a,b) = \displaystyle \frac{a \cdot b}{ GCD(a, b)} \]

في هذه الحالة, يكفي معرفة قيمة \(GCD(a,b)\) وقسمة حاصل ضرب الرقمين عليها للحصول على المضاعف المشترك الأصغر. لاحظ أن هذه حالة خاصة عندما تتعامل مع رقمين, ولا تنطبق بشكل عام.

تحدث حالة خاصة مثيرة للاهتمام عندما يكون لديك رقمان ويقسم أحد الرقمين (الأصغر) الرقم الآخر (الأكبر). في هذه الحالة, سيكون المضاعف المشترك الأصغر هو الأكبر بينهما.

مثال: حساب المضاعف المشترك الأصغر

احسب القاسم المشترك الأصغر للأعداد 2, 6, 8 و 24.

المحلول :الخطوة الأولى المطلوبة لحساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) هي حساب التحليل الأولي لجميع الأرقام المقدمة 2 و6 و8 و24.

\[2 = 2\] \[6 = 2 \cdot 3\] \[8 = 2^3\] \[24 = 2^3 \cdot 3\]

من التحليلات الموضحة أعلاه, فإن أبسط طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر هي التالية:

• أولاً, ابحث عن جميع الأعداد الأولية الموجودة على الأقل في أحد الأعداد المعطاة
• ثم ابحث عن أقصى أس لتلك الأعداد الأولية عبر جميع الأعداد التي تنتمي إليها من خلال تحليل الأعداد الأولية المقابلة
• اضرب جميع الأعداد الأولية الموجودة مرفوعة إلى أقصى أس مقابل موجود لكل منها, حتى تحصل على المضاعف المشترك الأصغر
• أيضًا, إذا كانت جميع الأرقام متساوية, فسوف نستنتج أن المضاعف المشترك الأصغر سيكون هذا العدد المتكرر

تم العثور على الأعداد الأولية التالية, وتم إدراجها مع أقصى أس لها عبر جميع تحللات الأعداد الأولية:

• العدد الأولي = 2, الحد الأقصى للأس = \(\max\{1,1,3,3\} = 3\)

• العدد الأولي = 3, الحد الأقصى للأس = \(\max\{1,1\} = 1\)

حساب المضاعف المشترك الأصغر (lcm)

من خلال ضرب جميع الأعداد الأولية وأسسها القصوى, نحسب المضاعف المشترك الأصغر على النحو التالي:

\[ LCM = \displaystyle 2^3 \cdot 3^1 = 24 \]

هذا يكمل الحساب, ونستنتج أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المعطاة هو \(LCM(2,6,8,24) = 24 \).

مثال: حساب آخر للمضاعف المشترك الأصغر

احسب المضاعف المشترك الأصغر لـ 21 و 9.

المحلول :التحليل الأولي للعددين 21 و9 هو

\[ 21 = 3 \cdot 7\] \[ 9 = 3^2\]

قائمة جميع الأعداد الأولية في أي من التحليلات هي 3 و7. بالنسبة للعدد 3, يكون الأس الأقصى هو 1, وبالنسبة للعدد 7, يكون الأس الأقصى هو 1. وبالتالي, فإن المضاعف المشترك الأصغر هو

\[ LCM(21, 9) = 3^2 \cdot 7 = 63\]

مثال: إيجاد القاسم المشترك

احسب القاسم المشترك للكسور \(\displaystyle \frac{1}{10}\) و \(\displaystyle \frac{2}{5}\)

المحلول :لاحظ أن مقامات الكسور هي 10 و5. بما أن العدد 5 يقسم 10, فإن القاسم المشترك الأصغر هو 10.

آلات حاسبة أخرى مفيدة

سيلعب المضاعف المشترك الأصغر لعددين دورًا مباشرًا في حاسبة الكسر , كما يتم استخدام المضاعف المشترك الأصغر لـ احسب القاسم المشترك في مجموع كسرين.

هناك شيء آخر مثير للاهتمام, يتعلق بالمضاعف المشترك الأصغر, وهو أنك ستحتاج إلى معرفة ما إذا كان المعطى الأعداد مركبة أو أولية أو بشكل أكثر تحديدًا, ربما ترغب في إنتاج تحلل أولي من الأعداد الصحيحة.