القاسم المشترك الأعظم

ستتيح لك هذه الآلة الحاسبة حساب GCD لأي قائمة من الأرقام تقدمها. وهذا مفيد لأن معظم الآلات الحاسبة تسمح فقط بحساب GCD حساب القاسم المشترك الإجمالي لعددين .

في هذه الآلة الحاسبة, سيكون لديك جدول يمكنك كتابة أو لصق الأرقام التي تحتاج إلى حساب القاسم المشترك الأعظم لها. يجب أن يكون عدد الأرقام على الأقل رقمين. بعد الضغط على "حساب", سيتم تزويدك بحساب الحل خطوة بخطوة.

إن القاسم المشترك الأعظم هو أحد أكثر الأشياء المفيدة التي ستتعلمها في الجبر, وله العديد من الاستخدامات المثيرة للاهتمام, مثل حساب القاسم المشترك الأصغر لعدة كسور, من بين العديد من العمليات المفيدة الأخرى مثل إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من قائمة الأعداد الصحيحة.

ما هو القاسم المشترك الأعظم؟

إن القاسم المشترك الأعظم لقائمة من الأعداد الصحيحة هو أصغر عدد صحيح موجب يقسم كل الأعداد الصحيحة المعطاة في القائمة. وعادة ما يُنظر إليه على أنه أكبر العوامل المشتركة بين جميع الأعداد في القائمة.

من ناحية أخرى, إذا حدث أن قائمة الأعداد الصحيحة ليس لها عوامل مشتركة, فإننا سنستنتج أن القاسم المشترك الأكبر هو 1. تحدث حالة سهلة أخرى عندما تكون جميع الأرقام في القائمة المقدمة متساوية, وفي هذه الحالة يكون هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر على وجه التحديد.

كيفية إيجاد العامل المشترك الأعظم

العامل المشترك الأعظم هو اسم آخر نستخدمه للقاسم المشترك الأعظم. فكرة الحساب بسيطة: لكل من الأعداد الصحيحة المقدمة, تحتاج إلى إيجاد تحلله الأولي .

بعد ذلك, يمكنك البحث عن الأعداد الأولية المشتركة بين جميع الأعداد الصحيحة, ثم إيجاد الأس الأدنى في مقدار التحليل المقابل لتلك الأعداد. وأخيرًا, يمكنك ضرب الأعداد الأولية المشتركة مرفوعة إلى الأس الأدنى الموجود, إن وجد.

إذا لم تكن هناك أعداد أولية مشتركة لنبدأ بها, فسيكون العامل المشترك الأعظم هو 1.

خطوات الحصول على gcd

في كثير من الأحيان يكون من المفيد وضع الخطوة في قائمة واضحة وقابلة للتنفيذ:

• الخطوة 1: حدد قائمة الأرقام المقدمة وتأكد من أنها عدد صحيح
• الخطوة 2: إذا كان أي عدد صحيح يساوي 0, فلن يتم تعريف GCD. كما ستأخذ في الاعتبار الأعداد الصحيحة الأكبر من 1
• الخطوه 3: لكل عدد صحيح أكبر من 1, ستجده العوامل الأولية
• الخطوة 4: يجب عليك إيجاد الأعداد الأولية المشتركة بين جميع التحليلات إلى عوامل. لكل عدد أولي يظهر في جميع الأعداد الصحيحة في قائمتك, ستكتب الأسس, وتحسب الحد الأدنى لكل من هذه الأسس
• الخطوة 5: أخيرًا, يتم حساب GCD عن طريق ضرب جميع الأعداد الأولية المشتركة معًا, مرفوعة إلى الأس الأدنى المقابل الموجود في الخطوة 4

قد تكون العملية الحسابية طويلة في بعض الأحيان, وخاصة بالنسبة للأعداد الصحيحة الكبيرة, وفي هذه الحالة قد يكون تحليل الأعداد الأولية مرهقًا بعض الشيء. باستخدام هذا حل GCF سوف يجعل الأمور أسهل كثيرًا بالنسبة لك.

لماذا تحتاج إلى العامل المشترك الأكبر؟

للعامل المشترك الأكبر العديد من الاستخدامات العملية في الجبر. من ناحية, يلعب دورًا رئيسيًا عند محاولة حل المعادلات عامل تعبير أو أخذها إلى أدنى تعبير لها وأبسطه.

يعد التحليل العامل مفيدًا بشكل خاص عندما تكون في حاجة إلى حل معادلة , كما هو الحال من خلال العثور على العوامل, قمت فعليًا بتقسيم مشكلة حل المعادلة إلى أجزاء أصغر.

بعد ذلك, سيتم استخدام GCD (المعروف أيضًا باسم GCF) لحساب المضاعف المشترك الأصغر لقائمة من أرقام \(n\) \(k_1, k_2, ..., k_n\), باستخدام ما يلي صيغة المضاعف المشترك الأصغر :

\[LCM(k_1, k_2, ..., k_n) = \displaystyle \frac{k_1 \cdot k_2 \cdots k_n}{GCD(k_1, k_2, ..., k_n)}\]

كما ترى من الصيغة أعلاه, فإن CGD يعطي اختصارًا لحساب المضاعف المشترك الأصغر, لأنه كل ما عليك فعله هو حساب حاصل ضرب الأرقام وقسمتها على المضاعف المشترك الأكبر.

مثال لحساب gcd

احسب العامل المشترك الأكبر للأعداد 70 و 210 و 336.

حل: الخطوة الأولى المطلوبة لحساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) هي حساب التحليل الأولي لجميع الأرقام المقدمة 70 و 210 و 336.

\[70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\] \[210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\] \[336 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7\]

من التحليلات الموضحة أعلاه, فإن أسهل طريقة للعثور على GCD هي التالية:

• أولاً, ابحث عن الأعداد الأولية المشتركة بين جميع الأرقام المعطاة
• ثم ابحث عن الحد الأدنى للأس لهذا العدد الأولي عبر جميع الأرقام
• اضرب الأعداد الأولية المشتركة المرفوعة إلى الحد الأدنى للأس الموجود لكل منها, حتى تحصل على القاسم المشترك الأكبر
• أيضًا, إذا لم تكن هناك أعداد أولية مشتركة, فسوف نستنتج أن CGD = 0

تم العثور على الأعداد الأولية التالية, وتم إدراجها مع الحد الأدنى لقوتها الموجودة عبر جميع تحللات الأعداد الأولية:

• عدد أولي مشترك = 2, الأس الأدنى = \(\min\{1,1,4\} = 1\)

• عدد أولي مشترك = 7, الأس الأدنى = \(\min\{1,1,1\} = 1\)

من خلال ضرب الأعداد الأولية المشتركة والحد الأدنى لأسسها, نحسب التقسيم المشترك الأعظم على النحو التالي:

\[GCD(70,210,336) = 2^1 \cdot 7^1 = 14 \]

يكمل هذا حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) للقائمة المقدمة.

الآلات الحاسبة الجبر المفيدة الأخرى

يمكنك الاختيار من بين مجموعة كبيرة من آلات حاسبة الجبر, بدءًا من الوقت الذي تحتاج فيه إلى المساعدة تبسيط الكسر أو عندما تحتاج إلى ذلك تحويل الكسر إلى النسبة المئوية .

أيضًا, بالنسبة للعمليات الرمزية, قد تكون مهتمًا بـ تبسيط تعبير عام إظهار الخطوات أو أنواع مختلفة من حاسبات الحدوديات .