补全平方计算器

完形填空的含义是什么？嗯,这个想法是为了得到某物的平方。每当你有一个形式为\(ax^2 + bx + c\)的二次表达式时,你都想把它作为 "某物的平方"。

分析这个表达式,你看到的唯一的正方形是\(a x^2\)部分,它包含\(x\)的正方形,但随后你有其他东西在正方形之外。在数学上,总是有可能把\(ax^2 + bx + c\)形式的二次表达式作为 "某物的平方",但有可能我们需要添加一个常数。

有时,如果该常数为零,我们会得到所谓的 完美的正方形 .

如何完成方块？完成方块,或 完善广场 它也被称为,只是把一个二次表达式\(ax^2 + bx + c\)变成一个简单表达式的平方,再加上一个常数的过程。这个过程很简单,它由不同的步骤组成。

你如何完成方块

步骤1： 确保传递的表达式是二次的,有一个非零的系数乘以\(x^2\)项。如果不是这样,你不能做这个程序。

第2步： 现在你有一个合适的二次项\(ax^2 + bx + c\),你需要把\(a\)（乘以\(x^2\)的项）分解出来。如果\(a = 1\),那么你就保持原样。

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

第 3 步： 现在我们需要看一下括号内的项（如果\(a = 1\),则是原项）。观察一下,对于一个常数\(d\),我们有\((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\)。因此,我们观察到

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

因此,上述表达式中的\(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \)一词与\((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\)中的\(d\)非常相似。因此,我们确实可以做到

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

这个过程被称为 通过补全方程解决 或者 完善广场 .

补全方块的例子

考虑一下这个表达式。\(2x^2 + 2x + 1\)。首先,我们把2剔除。

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

我们可以记住上面给出的公式,或者你可以按照 "强迫 "平方的程序来做。我认为后者是最好的选择,因为你肯定会忘记这个公式,但一旦你学会了这个程序,你就不会忘记。所以,我们看一下\(x\)项,在它前面强行加上2。所以我们得到

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

现在,看看\(x\)左边的括号里的项。我们对这个项进行平方,然后再加上它和减去它。\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \),所以本质上我们是在加0,所以表达式没有变化。

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

所以现在我们可以把前三个项确定为完全平方,所以我们得到。

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

为什么它被称为为什么？

你可能想知道,为什么完成平方的程序被称为完成平方？好吧,我在一开始就提到了,我们要做的是得到一个二次表达式,并将其改写为 "某物的平方",而这是通过添加正确的常数来完成的,这样我们就真的 "完成了平方"。通过添加（和减去）这个常数,我们得到一个完全平方,再加上一个常数,这样就可以找到我们要找的 "某物的平方"。

通过填方解决一元二次方程

有趣的是,完成平方相当于解决一元二次方程的问题。事实上,如果我们想解决

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

我们现在知道,我们可以完成方程,得到。

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

我们可以得到,解决二次方程与解决

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

那么

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

因此,正如你所使用的,如果你完成平方求解一元二次方程与使用传统的一元二次方程是完全一样的。

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