求解器代数

计算一元二次方程

指示： 用这个计算器计算一个二次方程的方程式,显示所有的步骤。请在下面的表格中输入你想计算的二次方程的根。

二次方程求解器

这个计算器将允许你 计算一元二次方程 你提供的,显示所有的步骤。你所需要做的就是提供一个有效的二次方程。

它可能是已经简化并准备解决的东西,如x^2 + 3x + 5 = 0,你可以提供一些不容易简化的东西,如3x^2 - 4x + 5/3 = x^2 + 3x -1,例如。

一旦你提供了一个有效的二次方程,你需要做的就是点击 "计算",你就会得到计算过程的所有步骤。 二次方程的根 所提供的。

通常情况下,你会使用二次元公式来计算二次元方程,但这并不是唯一的方法,我们将在以下章节中看到。

如何计算一元二次方程？

有几种解决一元二次方程的策略。最常用的一种是使用二次方程 .另外,你可以通过以下方式解决补齐方块 ,或者你可以通过以下方式解决二次方因子 .

用一元二次方程公式计算一元二次方程的步骤是什么？

第1步：确定你要计算的一元二次方程
第二步：确保方程完全简化,否则继续简化,直到你有一个形式为ax² + bx + c = 0的方程
第三步：方程简化后,你可以使用二次方程。\(x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。

可能,使用一元二次方程公式是寻找一元二次方程根的最实用的方法,但也有其他原因,你会用其他方法。

如何通过补足平方求解一元二次方程？

解决一元二次方程的第二种最常见的方法是使用以下技术补齐方块 .其实并没有一个完成平方的公式（虽然技术上有一个,基于二次方程的解）,而是一个过程。

完成方格的步骤是什么？

第1步：确定你要解决的一元二次方程
第二步：你需要确保方程被完全简化,并且你有一个形式为ax² + bx + c = 0的方程。
第三步：加减一个合适的项（在本例中,(b/(2a))²迫使二项式的平方的项

的想法,以迫使出现一个形式为(x+"某物)²的项,这是完成方程的最终目标。

你为什么要使用二次方程？

二次方程在代数应用中不断出现是文字问题。解决一元二次方程是你需要掌握的一项基本核心技能。

然后,在微积分等领域,当计算最大化和最小化问题时,你将需要很好地熟悉所有类型的二次方程。

例子。求解一元二次方程

用公式\(4x^2 + \frac{4}{3}x + 2 = 0\)解出以下二次方程

解决方案：我们需要解决以下给出的二次方程\(\displaystyle 4x^2+\frac{4}{3}x+2=0\)。

对于形式为\(a x^2 + bx + c = 0\)的二次方程,使用以下公式计算根。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们有,我们需要解决的方程是\(\displaystyle 4x^2+\frac{4}{3}x+2 = 0\),这意味着相应的系数是。

\[a = 4\] \[b = \frac{4}{3}\] \[c = 2\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{4}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(4\right)\cdot \left(2\right) = -\frac{272}{9}\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是\(\Delta = \displaystyle -\frac{272}{9} < 0\),它是负的,我们知道,给定的方程有两个不同的共轭复数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{4}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2-4\left(4\right)\left(2\right)}}{2\cdot 4} = \displaystyle \frac{-\frac{4}{3} \pm \sqrt{-\frac{272}{9}}}{8}\]

因此,我们发现。

\[\displaystyle x_1 = \frac{-\frac{4}{3} - i \sqrt{\frac{272}{9}}}{8} = -\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\sqrt{17} i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{-\frac{4}{3} + i \sqrt{\frac{272}{9}}}{8} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\sqrt{17} i\]

因此,给定方程\(\displaystyle 4x^2+\frac{4}{3}x+2=0\)有两个不同的共轭复数根,即\(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\sqrt{17} i\)和\(x_2 = \displaystyle -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\sqrt{17} i\)。

在图形上。

例子:一元二次方程的根

通过补全平方求出以下二次方程的根\(2x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{72} = 0\)。

解决方案：在这种情况下,我们有,我们需要解决的方程是\(\displaystyle 2x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{72} = 0\),这意味着相应的系数是。

\[a = 2\] \[b = \frac{1}{3}\] \[c = \frac{1}{72}\]

鉴别力的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(\frac{1}{72}\right) = 0\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是\(\Delta = \displaystyle 0 = 0\),它是零,所以我们知道该方程只有一个实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{1}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2-4\left(2\right)\left(\frac{1}{72}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{1}{3} \pm \sqrt{0}}{4}\]

因此,我们发现。

\[x = \displaystyle \frac{-\frac{1}{3}}{4} = \displaystyle -\frac{1}{12}\]

因此,给定方程\(\displaystyle 2x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{72}=0\)只有一个实根,即\(x = \displaystyle -\frac{1}{12}\)。

在图形上。

例子。方程根的计算

解决以下问题。\(3x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} = 0\)<

解决方案：在这个例子中,我们需要解决的方程是\(\displaystyle 3x^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3} = 0\),那么相应的系数是。

\[a = 3\] \[b = \frac{2}{3}\] \[c = -\frac{4}{3}\]

在这种情况下,判别的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{148}{9}\]

由于判别式是\(\Delta = \displaystyle \frac{148}{9} > 0\),它是正数,我们知道这个方程将有两个不同的实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{2}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\left(3\right)\left(-\frac{4}{3}\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{-\frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{148}{9}}}{6}\]

因此,我们发现。

\[ x_1 = -\frac{\frac{2}{3}}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{148}{9}}=-\frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9} \] \[x_2 = -\frac{\frac{2}{3}}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{148}{9}}=\frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\]

因此,给定的方程\(\displaystyle 3x^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}=0\)有两个不同的实根,即\(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\)和\(x_2 = \displaystyle \frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\)。

在图形上。