顶点形式计算器
指示： 使用这个计算器来表达一个以顶点形式提供的二次函数。请在下面的表格中提供一个有效的x的二次函数表达式。
关于这个顶点计算器的更多信息
这个计算器可以让你把你提供的二次函数变成 顶点形式 显示所有的步骤。你需要提供一个有效的x中的二次表达式,任何有效的二次函数都可以。
例如,你可以提供像x^2 + 3x + 4这样的东西,或者也许你可以提供一个不简化的表达式,像x^2 + 3x - 1/2 x + 3x^2 - 3。
一旦你提供了一个有效的二次函数,你只需点击 "计算",顶点形式的计算就会显示在你面前,所有的步骤都由这个提供。 抛物线计算器 .
每个有效定义的二次函数都会有一个顶点形式,从中可以直接得到顶点的坐标,以及抛物线是 "向上 "还是 "向下 "打开。
如何找到抛物线的顶点形式？
所有的二次函数在图形上都用抛物线来表示。这个抛物线将向上或向下打开,取决于前导系数的符号。
最终,得到抛物线的顶点形式包括找到二次函数的顶点,这可以通过以下方式实现 完善广场 .
计算顶点形式的步骤是什么？
所以, 如何找到顶点形式 ?你可以按照以下步骤进行。
- 第一步：确定二次函数。该表达式必须有2度,乘以x²的前导系数必须不同于零
- 第二步：如果乘以x²的前导系数是正数,抛物线就会向上打开,如果是负数,就会向下打开。
- 第三步：完成方格,注意括号内的x项,因为它决定了顶点的x坐标。
- 第四步：在完成方格后,括号外的常数（可以是零）对应于顶点的Y坐标。
因此,我们可以看到,顶点形式计算的一般过程与完成方块的过程紧密相关。
是否有一个顶点公式？
事实上,是的,有的。通常情况下,完成广场进程是漫长的途径。假设你有一个 二次函数 ,表示：
\[ f(x) = a x^2 + b x + c\]所以,你已经有了一个简化的二次函数。顶点的x坐标用以下公式计算。
\[ x_v = \displaystyle \frac{-b}{2a} \]真的很简单,对吗？是的。但是,你如何得到顶点的Y坐标？你取值\(x_v\),然后把它插入二次函数中。所以我们得到
\[ y_v = f(x_v) = a x_v^2 + b x_v + c \]自然,这个公式可以比做一个完成平方的过程快得多,但每种方法都有它的用途,一个特定问题的情况会告诉你将使用的形式。.
二次方到顶点的形式？
为什么你想从二次函数到顶点形式？原因有很多：从几何学的角度来看,顶点形式允许我们把给定的二次函数看作是一个基本抛物线的平移和重定比例,其中平移是由顶点决定的,比例是由主导系数决定的。
这种计算可能是劳动密集型的,但这 抛物线计算器 将为你做这些粗重的工作。
标准到顶点的形式？
对此通常会有一些混淆。让我澄清一下,顶点形式是给标准形式的另一个名称。那么那么,二次函数的标准形式\(y = a(x-h)^2 + k\)与顶点形式是一样的。
产生这种混淆的原因是,有时人们在提到标准形式时使用了二次函数的一般形式。一般形式是\(y = ax^2 + bx + c\)。
因此,有意义的问题是如何从一般形式到顶点形式,这与问如何从一般形式到标准形式是一样的。答案很简单：从一般形式开始,然后你 完成方块 以达到标准形式。
例子:如何找到顶点形式
用顶点公式找出以下二次表达式\(f(x) = x^2 + 3x - 6\)的顶点
解决方案： 我们需要找到二次函数\(\displaystyle f(x)=x^2+3x-6\)的顶点形式。
我们首先计算与给定二次函数相关的抛物线的顶点坐标。
对于形式为\(f(x) = a x^2 + bx + c\)的二次函数,顶点的x坐标用以下公式计算：
\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]在这种情况下,我们需要找到顶点的函数是\(f(x) = \displaystyle x^2+3x-6\),这意味着相应的系数是：
\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = -6\]将\(a\)和\(b\)的已知值插入顶点的X坐标公式,我们得到：
\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}\]现在,我们需要将\(x_V = \displaystyle -\frac{3}{2}\)的值插入二次函数中,所以我们得到：
\[y_V = f(x_V)\] \[ = 1\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-6=1\cdot\frac{9}{4}+3\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-6=\frac{9}{4}+3\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)-6=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-6=-\frac{33}{4}\]因此,顶点的x坐标是\(x_V = \displaystyle -\frac{3}{2}\),顶点的y坐标是\(y_V = \displaystyle -\frac{33}{4}\)。这表明,代表顶点的点是\( \displaystyle \left(-\frac{3}{2}, -\frac{33}{4}\right)\)。
以下是以图形方式得到的。
我们需要完成二次表达式\(\displaystyle x^2+6x-2\)的平方。
需要采取以下步骤,以完成该广场：
步骤1： 在这种情况下,由于前导常数,即在给定的多项式中乘以\(x^2\)的项,是\(a = 1\),所以我们不需要把它算出来。
第2步： 我们在\(x\)前面加上一个 "2",通过观察给定的二次表达式中的1阶项,我们可以改写：\(\displaystyle 6 x = 2 \cdot \left(3\right) x\),所以我们得到\[ x^2+6x-2 = x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \]。
第3步： 在这种情况下,乘以2的项是\(\displaystyle 3\),所以为了使用二项式,我们需要它的平方\(\displaystyle \left(3\right)^2\)出现在表达式中。
为了达到这个目的,我们现在要加减项\(\displaystyle \left(3\right)^2 = 9\),这样才能完成平方。加减相同的项与加零相同,所以不影响表达：\[ \begin{array}{ccl} \displaystyle x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \end{array}\]
第4步： 我们完成方程并简化常数：\[ \begin{array}{ccl} x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x+9-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left[x^2+2 \cdot \left(3\right) x+\left(3\right)^2\right]-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left( x+3 \right)^2-11 \end{array}\]
结论： 因此,我们发现,顶点形式的函数是\(\displaystyle f(x) = \left( x+3 \right)^2-11\),这就完成了计算。
例子。二次方到顶点的形式
将下面的二次方程\(f(x) = x^2 + 6x - 2\)转换成顶点形式。顶点的坐标是什么？抛物线是向上还是向下打开的？
解决方案：
我们需要找到二次函数\(\displaystyle f(x)=x^2+6x-2\)的顶点形式。
我们首先计算与给定二次函数相关的抛物线的顶点坐标。
对于形式为\(f(x) = a x^2 + bx + c\)的二次函数,顶点的x坐标用以下公式计算：
\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]在这种情况下,我们需要找到顶点的函数是\(f(x) = \displaystyle x^2+6x-2\),这意味着相应的系数是：
\[a = 1\] \[b = 6\] \[c = -2\]将\(a\)和\(b\)的已知值插入顶点的X坐标公式,我们得到：
\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\]现在,我们需要将\(x_V = \displaystyle -3\)的值插入二次函数中,所以我们得到：
\[y_V = f(x_V)\] \[ = 1\cdot \left(-3\right)^2+6\cdot \left(-3\right)-2=1\cdot \left(-3\right)^2+6\cdot \left(-3\right)-2=-3^2+6\cdot \left(-3\right)-2=9-18-2=-11\]因此,顶点的x坐标是\(x_V = \displaystyle -3\),顶点的y坐标是\(y_V = \displaystyle -11\)。这表明,代表顶点的点是\( \displaystyle \left(-3, -11\right)\)。
我们需要完成二次表达式\(\displaystyle x^2+6x-2\)的平方。
需要采取以下步骤,以完成该广场：
步骤1： 在这种情况下,由于前导常数,即在给定的多项式中乘以\(x^2\)的项,是\(a = 1\),所以我们不需要把它算出来。
第2步： 我们在\(x\)前面加上一个 "2",通过观察给定的二次表达式中的1阶项,我们可以改写：\(\displaystyle 6 x = 2 \cdot \left(3\right) x\),所以我们得到\[ x^2+6x-2 = x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \]。
第3步： 在这种情况下,乘以2的项是\(\displaystyle 3\),所以为了使用二项式,我们需要它的平方\(\displaystyle \left(3\right)^2\)出现在表达式中。
为了达到这个目的,我们现在要加减项\(\displaystyle \left(3\right)^2 = 9\),这样才能完成平方。加减相同的项与加零相同,所以不影响表达：\[ \begin{array}{ccl} \displaystyle x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \end{array}\]
第4步： 我们完成方程并简化常数：\[ \begin{array}{ccl} x^2+6x-2 & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x-2+9-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle x^2+2 \cdot \left(3\right) x+9-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left[x^2+2 \cdot \left(3\right) x+\left(3\right)^2\right]-2-9 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \left( x+3 \right)^2-11 \end{array}\]
结论： 因此,我们发现,顶点形式的函数是\(\displaystyle f(x) = \left( x+3 \right)^2-11\),这就完成了计算。
