这个顶点公式计算器

这个计算器将允许应用 顶点公式 为你提供的一个给定的二次函数。这个二次函数需要是一个有效的函数,如2x^2 + 3x + 1/3,或者它可以不简化,如2x^2 - x + 5 - 3/4 x^2 + 3,等等。任何有效的二次函数都可以。

一旦你提供了一个有效的二次函数,你需要点击 "计算 "按钮,和顶点公式的应用步骤将被显示出来,并按照步骤计算出抛物线的顶点。

二次函数在代数和微积分的应用中确实很重要,而且二次函数的顶点非常容易解释。

什么是顶点公式？

首先,我们假设从一个二次函数开始,我们将其简化为。

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

那么,顶点的X坐标的顶点公式为：。

\[ x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]

如何应用顶点公式？

• 第一步：确定二次函数的简化形式。你需要有类似f(x)= ax²+ bx + c的东西
• 第二步：从二次方程中,你需要清楚地确定a和b是什么。
• 第3步：根据你确定的a和b,将它们插入公式xv=-b/2a中。

请注意,如果a=0,那么该公式将是未定义的,但在这种情况下,a不会是0,因为我们有一个二次函数,而乘以x²的项不能是0,以便成为一个有效的二次函数。

为什么找到顶点很重要？

顶点有一个非常重要的属性,它是二次函数达到最小的点（当它向上打开时a>0）或它是二次函数达到最大的点（当它向下打开时a>0）。

因此,在寻找顶点时,我们已经得到了二次函数的极点。

例子。计算顶点

计算以下二次函数的顶点。\(f(x) = 3x^2+3x+2\)的顶点

解决方案： 我们需要找到二次函数\(f(x) = \displaystyle 3x^2+3x+2\)的顶点的坐标。

对于形式为\(f(x) = a x^2 + bx + c\)的二次函数,顶点的x坐标用以下公式计算。

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]

在这种情况下,我们需要找到顶点的函数是\(f(x) = \displaystyle 3x^2+3x+2\),这意味着相应的系数是。

\[a = 3\] \[b = 3\] \[c = 2\]

将\(a\)和\(b\)的已知值插入顶点的X坐标公式,我们得到。

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{3}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{2}\]

现在,我们需要将\(x_V = \displaystyle -\frac{1}{2}\)的值插入二次函数中,所以我们得到。

\[y_V = f(x_V)\] \[ = 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+2=3\cdot\frac{1}{4}+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+2=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{4}\]

因此,顶点的x坐标是\(x_V = \displaystyle -\frac{1}{2}\),顶点的y坐标是\(y_V = \displaystyle \frac{5}{4}\)。这样,代表顶点的点是\( \displaystyle \left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)\)。

以下是以图形方式得到的。

例子。顶点公式的应用

使用顶点公式来计算与函数\(f(x) = x^2 + 4x - \frac{3}{4}\)相关的顶点的坐标。

解决方案： 同样,我们使用以下公式。

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]

由于\(f(x) = \displaystyle x^2+4x-\frac{3}{4}\),这意味着相应的系数是。

\[a = 1\] \[b = 4\] \[c = -\frac{3}{4}\]

将\(a\)和\(b\)的已知值插入顶点的X坐标公式,我们得到。

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\]

现在,我们需要将\(x_V = \displaystyle -2\)的值插入二次函数中,所以我们得到。

\[y_V = f(x_V)\] \[ = 1\cdot \left(-2\right)^2+4\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{4}=1\cdot \left(-2\right)^2+4\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{4}=-2^2+4\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{4}=4-8-\frac{3}{4}=-4-\frac{3}{4}=-\frac{19}{4}\]

因此,顶点的x坐标是\(x_V = \displaystyle -2\),顶点的y坐标是\(y_V = \displaystyle -\frac{19}{4}\)。这样,代表顶点的点是\( \displaystyle \left(-2, -\frac{19}{4}\right)\)。

这就结束了计算。

例子。顶点应用

找出函数\(f(x) = -2x^2 - 3x + 5\)的极端点。这个极端点是最小点还是最大点？

解决方案： 我们需要找到二次函数\(f(x) = \displaystyle -2x^2-3x+5\)的顶点的坐标。

我们使用以下公式。

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\]

在这种情况下,我们有,我们需要找到顶点的函数是\(f(x) = \displaystyle -2x^2-3x+5\),所以,那么。

\[a = -2\] \[b = -3\]

这意味着。

\[x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{-3}{2 \cdot -2} = -\frac{3}{4}\]

现在,我们需要将\(x_V = \displaystyle -\frac{3}{4}\)的值插入二次函数中,所以我们得到。

\[y_V = f(x_V)\] \[ = \left(-2\right)\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2+-3\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)+5=\left(-2\right)\cdot\frac{9}{16}+-3\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)+5=-\frac{9}{8}+\frac{9}{4}+5=\frac{49}{8}\]

因此,顶点的x坐标是\(x_V = \displaystyle -\frac{3}{4}\),顶点的y坐标是\(y_V = \displaystyle \frac{49}{8}\)。这样,代表顶点的点是\( \displaystyle \left(-\frac{3}{4}, \frac{49}{8}\right)\)。

注意\(a = -2 < 0\),那么抛物线向下打开,点\( \displaystyle \left(-\frac{3}{4}, \frac{49}{8}\right)\)对应的是一个最大点。这就是,二次函数\(f(x) = \displaystyle -2x^2-3x+5\)在\( x = -\frac{3}{4}\)处达到\( \displaystyle \frac{49}{8}\)的最大值

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