解答者代数

不等式图

指示： 您可以使用此计算器绘制您提供的任何不等式的图表,显示解决方案的所有步骤。请在下面的框中输入您想要绘制图表并求解的不等式。

关于这位不等式绘图员

该计算器将帮助您找到任何一般不等式的解和图表,并显示所有步骤。您需要在提供的框中输入一个变量 (x) 的有效不等式。

例如,您可以提供一个简单的线性不等式,如"3x - 1 < 1/3",或类似"2x-x^2 <= 3/4",这对应于二次不等式。

一旦您提供了想要绘制的不等式,请继续并单击"求解"按钮,以便显示解决方案以及所有步骤,以防可以找到解决方案。

求解一般方程普遍的不平等一般来说是一项艰巨的任务,除了一套适合系统处理的特定结构之外。

允许精确解的少数几种类型是线性不等式和多项式不等式 .

您想要解决的一种重要的不等式是有理不等式,您可以在其中确定多项式的商。这些不等式很有趣,因为它们可能被零除,需要解决。有理不等式的思想可以很容易地扩展到一般函数的商,不一定是多项式

如何绘制不等式

最简单的答案是：为了绘制不等式的图表,您需要知道如何解决它。不等式的图形解通常表示为 x 轴上的一个区间或几个连接的区间。

因此,话虽这么说,绘制不等式首先要解决它,这涉及到在实线上找到一组满足所提供的不等式的值。

您可以将图形呈现为独立区间,也可以绘制不等式解以及不等式基础表达式的图形：让我们回想一下,为了解决不平等问题 ,您将所有项传递到一侧（这给出了基础表达式）并求解辅助方程

求解和绘制不等式的步骤

步骤1： 将所有项传递到一侧,因此一侧有一个表达式,另一侧有零
第2步： 根据不等式（一旦一侧全部为零,另一侧全部为零）,构造一个辅助方程
第3步： 使用适合其结构的方法求解该方程（不同类型的方程需要特定的技术和方法）
第4步： 基于辅助方程的实数解（实数解而不是复数解）,您可以构造临界点,并按升序对它们进行排序
第5步： 您还需要查找表达式未定义的点。一个值得注意的情况发生在有理不等式中,其中分母是多项式,因此表达式在分母的零点上将是未定义的。因此,您将分母的零添加到临界点列表中
第6步。 通过临界点,您可以使用连续的临界点构建区间（使用 -∞ 和 ∞ 作为起始和结束临界点）
第7步。 对于每个区间,分析表达式的符号并查看它是否与不等式的符号兼容。如果是,那么该区间将成为不等式整体解的一部分

使用关键点进行分析至关重要,因为这样可以确保表达式在每个区间内不会改变符号,从而使问题简化为评估每个关键区间的不等式是否得到解决。

为了使其更加具体,您给出了一些不等式,然后将所有内容传递到一侧,因此您得到了\(f(x) \le 0\)形式的内容。例如,这可能类似于\(x^2 - x + 1 \le 0\)。

然后你取\(f(x) \le 0\)并找到辅助方程\(f(x) = 0\)。您采用表达式 \(f(x)\) 并发现它的零点是临界点。但您不仅要这样做,还要查看 \(f(x)\) 是否在任何地方未定义（除以零等）。它可能在任何地方都被定义,就像 \(x^2 - x + 1\) 的情况一样,但是如果您发现表达式未定义的点,则将其添加到关键点列表中。

然后,您根据连续的关键点构建区间。对于\(f(x) \le 0\),您将把表达式值为负数的区间作为解的一部分。如果原始不等式是\(f(x) \ge 0\),您将把表达式值为正的区间作为解的一部分

这个不等式绘图仪是如何工作的

我们的在线不等式绘图仪将处理基础代数中最繁琐的过程之一,即找到不等式的解并将其绘制成图表。我们的计算器的一大优点是它会在可能的情况下显示所有步骤。

首先,绘图者将通过首先求解合适的辅助方程来求解不等式。这个过程需要检测特定的已知结构,因为所有结构可能需要不同的方法。例如,要解决有理不等式（涉及两个多项式的商）,例如

\[\displaystyle \frac{x^2-2x}{x-1} \ge 4 \]

例如,您将需要一种与解决二次不等式（例如\(x^2 + 3x < 1\)）所用的方法不同的方法,并且该计算器将考虑所有这些细节。

如果没有检测到传统或众所周知的结构,则将使用不同的常用替换,例如\(u = \sqrt x\)或\(u = \sin x\)。如果没有任何效果,计算器将尝试通过检查和数字来找到解决方案,以便至少了解解决方案。

如何呈现不等式图？

正如我们上面提到的,它并不是真正写在石头上,但最常见的方法是绘制不等式的基本表达式,并突出显示满足不等式的 x 值。这可能是最好的图形格式,也是该图形绘制者所使用的。

您还可以绘制一个独立的区间对象,但这可能不太有说服力,因为它失去了不等式本身实际发生的情况的视角。

示例：绘制不等式图

绘制以下不等式：\(\frac{1}{x}+x > 1\)

解决方案：我们有以下需要解决的不等式：

\[\frac{1}{x}+x > 1\]

我们需要把不平等的所有条件放在一边：

\[x+\frac{1}{x}-1>0\]

求解辅助方程

由上述不等式,我们得到首先需要求解的关联方程：

\[x+\frac{1}{x}-1=0\]

\( \displaystyle x+\frac{1}{x}-1 = 0\)

Reorganizing the terms we find the quotient of two polynomials

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \Rightarrow \,\,\,\,\frac{x^2-x+1}{x}=0\)

关键点分析

我们需要按升序组织找到的临界点（从分子和分母的实根）,用所有连续的临界点定义区间,并评估每个区间上不等式左侧大小的符号。

发现的唯一临界点是 \(0\)。

在此基础上,我们需要对以下区间进行分析：

• 对于区间\(\left(-\infty, 0\right)\)：分子为正,分母为负,因此左侧为负,这意味着\(\left(-\infty, 0\right)\) 不是解的一部分。

• 对于区间\(\left(0, \infty\right)\)：分子为正,分母为正,因此左侧为正,因此\(\left(0, \infty\right)\) 是解的一部分。

不等式的解决方案

根据所提供的不等式并分析临界点,我们发现不等式的解是\(x > 0\)。

使用区间符号,可将解法写成

\[\left(0,\infty\right)\]

使用不等式绘图仪可以得到以下结果：

这就结束了计算。

示例：绘制多项式不等式的图形

找出不等式的图：\(x^2 - 2x \ge 4\)

解决方案：

我们需要把不平等的所有条件放在一边：

\[x^2-2x-4\ge0\]

求解辅助方程

由上述不等式,我们得到首先需要求解的关联方程：

\[x^2-2x-4=0\]

使用二次方程

对于形式为 \(a x^2 + bx + c = 0\) 的一元二次方程,根的计算公式如下：

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们需要求解的方程是 \(\displaystyle x^2-2x-4 = 0\),这意味着相应的系数是：

\[a = 1\] \[b = -2\] \[c = -4\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-4\right) = 20\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是 \(\Delta = \displaystyle 20 > 0\),是正值,所以我们知道方程有两个不同的实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(1\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}\]

因此,我们发现。

\[ {x}_1 = \frac{2}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{20}=\frac{2}{2}-\sqrt{5}=1-\sqrt{5}=-\sqrt{5}+1 \] \[{x}_2 = \frac{2}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{20}=\frac{2}{2}+\sqrt{5}=1+\sqrt{5}=\sqrt{5}+1\]

在这种情况下,一元二次方程 \( \displaystyle x^2-2x-4 = 0 \),有两个实数根,所以：

\[\displaystyle x^2-2x-4 = \left(x+\sqrt{5}-1\right)\left(x-\sqrt{5}-1\right)\]

这样,原多项式就被因子化为 \(\displaystyle p(x) = x^2-2x-4 = \left(x+\sqrt{5}-1\right)\left(x-\sqrt{5}-1\right) \),从而完成了因子化。