三项式因式分解

通过此计算器,您可以计算形式为 \(ax^2+bx+c\) 的三项式因式。请注意,这是一种非常特殊的三项式,基本上相当于二次表达式。

提供有效的三项式后,只需点击 "计算 "按钮,就会显示所有计算步骤。

三项式因式分解问题是一个相对简单的问题,它最终依赖于我们的以下能力 解决一元二次方程 至少对于我们正在处理的三项式类型是如此。

什么是三项式

三项式,正如 "tri "部分所表示的,是一个有三个项的代数表达式。从技术上讲,像 \(a+b+c\) 这样的三项式和 \(a\cdot b\cdot \ c\) 一样都是三项式。但通常我们指的是加法三项式,所以后者不属于这个范畴。

此外,我们隐含的意思是三项式的多项式项为 \(d x^k\)。我们要做的最后一个假设是,最高幂大于 2,我们可以因式分解一个项,这样最高幂就是 2（这在连续幂的情况下总是可能的）。

那么,我们所处理的三元组就可以简单地归结为如下形式的表达式类别

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

三项式因式分解的步骤是什么？

• 步骤1： 找出三项式,并确保它符合上述定义意义上的三项式要求
• 第2步： 假设最高阶数为 2,则项的形式为 \(a x^2 + bx^2 + c \),因此找出系数 a,b 和 c
• 第3步： 求解一元二次方程 \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\)。假设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是根,则三项式因式分解为 \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• 第4步： 如果最高阶数大于 2,求出最高幂,然后返回步骤 2

归根结底,三项式因式分解任务的解决取决于你的以下能力 保理条款 和 解决一元二次方程 .

我们能得到三项式的公因式吗？

根据我们对本程序所要接受的三项式的定义,从技术上讲,是的,我们可以有一个公 因数,它可以被分解出来。事实上,在本计算器中,三项式被假定为 \(a x^2 + bx + c\)形式,而一般情况下是没有公因式的。

但是,你可以说 \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) 是一个有公因数的三项式,你这么说是对的。

如果我们能把 \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \) 这样的公因式去掉,最终就能得到我们这里使用的最基本的三项式。

三项式因式分解和多项式因式分解相同吗？

更确切地说,我们可以说,我们得到一个三项式,然后对它进行因式分解,我们就是在做一个 多项式保理 的二次多项式（如有必要,先将其中一项分解）。

讨论三项式而不是多项式,是为了强调我们正在处理的表达式的特定结构,其中有 3 项,而不像一般的多项式可以有 3 项以上。

为什么用这个计算器而不用我的科学计算器？

其中一个主要原因是,这个带步骤的因式分解计算器会向您展示得出解决方案所需的相关工作,这意味着您将看到为什么会得出这样的结果的理由。

在下一节中,你将看到带答案的三项式因式分解示例,其中一个使用了一元二次方程公式,另一个使用了分组因式分解的小技巧。

三项式因式分解举例

因素如下\(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

解决方案： 注意,我们可以将 \(x^2\) 因式分解,那么

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

二次部分可以很容易地分解为 \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\),从而得出

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

这就结束了计算。

示例：因式三项式

求下面三项式 \( x^2 + 2x + 3 \) 的因式分解。

解决方案： 在这个例子中,我们可以看到,一元二次方程公式并不是万能的,有时可以根据方程的结构走一些捷径。我们可以使用 分组因子 在这个例子中。请注意

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

将前两项和后两项合并在一起,就得到了

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

但最后一项可以把 x + 3 分解,所以我们可以得到

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

这就结束了计算。

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