Подробнее об уравнении окружности в стандартной форме

Этот калькулятор позволит вам вычислить стандартную форму уравнения окружности, показывая все шаги. Вам необходимо ввести правильное выражение для радиуса и координат центра. Это может быть любое допустимое выражение, с единственным ограничением - радиус должен быть положительным.

После предоставления достоверных данных необходимо нажать кнопку "Рассчитать", и вам будут показаны все этапы процесса, как круг приводится в стандартную форму.

В общем случае вычисление стандартной формы довольно просто, если вы знаете радиус и центр, как мы увидим в следующих разделах.

Какова стандартная форма окружности?

Как это часто бывает в математике, часто используемые математические объекты могут быть выражены различными способами. Например, для линий у нас есть стандартная форма линии и форма пересечения наклона . Для окружностей происходит нечто подобное. Окружность имеет стандартную форму, если она выражается в следующей форме:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

В данном случае мы знаем, что \(r\) - радиус окружности, а \((x_0, y_0)\) - центр окружности.

Каковы шаги для нахождения стандартной формы окружности?

• Шаг 1: Определите, какой информацией вы располагаете. Процесс будет зависеть от того, есть ли у вас радиус и центр, или же у вас есть уравнение в общем виде
• Шаг 2: Если у вас есть радиус r и центр, все, что вам нужно сделать, это подставить их в уравнение: \(\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\)
• Шаг 3: Если у вас есть общее уравнение окружности, вы достигаете стандартной формы, проводя завершение процесса создания площади для обеих переменных x и y

Затем вы приступите к вычислению уравнение окружности зависит от того, какой информацией вы располагаете. Чаще всего задаются радиус и центр, и это самый простой случай. Но нередко требуется заполнить квадраты из общего уравнения.

Трудности при нахождении стандартного уравнения окружности

Как мы уже говорили, простой случай - это когда радиус и центр предоставлены, но это не всегда так, поскольку часто вы начинаете с общее квадратное уравнение и нужно будет заполнить квадраты, чтобы получить стандартное уравнение окружности.

Как перейти от общей к стандартной форме для окружности?

• Шаг 1: Вам необходимо провести процесс заполнения квадратов для каждой из переменных x и y. Начните с группировки членов с x и членов с y
• Шаг 2: Для каждой переменной, скажем, x, вы определяете, какой член входит в x^2, и вычисляете его
• Шаг 3: Силой создайте термин типа 2*"что-то "*x, сложите и вычтите найденное "что-то"

Для получения более подробной информации ознакомьтесь с этим калькулятор заполнения квадратов .

Зачем заботиться о стандартной форме окружности?

Стандартная форма расскажет вам все, что нужно знать об окружности, потому что вы можете визуально увидеть прямо из уравнения, каков радиус и каков центр.

Это отличается от случая расширенное уравнение окружности где с первого взгляда невозможно определить ни радиус, ни центр.

Пример: вычисление уравнения окружности в стандартной форме

Получили стандартное уравнение окружности, учитывая, что ее радиус равен r = 3/4, а центр находится в точке (2, 1).

Отвечать: Нам нужно найти стандартную форму окружности, где заданный радиус равен \(r = \displaystyle \frac{3}{4}\), а заданный центр - \((\displaystyle 2, 1)\).

Уравнение окружности в стандартной форме имеет следующую структуру:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

где \(x_0\) и \(y_0\) - соответствующие координаты x и y центра, а \(r\) - радиус. Таким образом, для полного определения стандартной формы окружности нам нужно лишь четко определить центр и радиус и подставить их в приведенную выше формулу.

В данном случае из предоставленной информации мы уже знаем, что \(x_0 = \displaystyle 2\) и \(y_0 = \displaystyle 1\), и \(r = \frac{3}{4}\). Подставляя эти данные, получаем:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]\[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \]

На этом расчеты завершены. Мы выяснили, что уравнение окружности в стандартной форме имеет вид \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \)

Пример: вычисление уравнения окружности в стандартной форме

Предположим, что окружность имеет центр в начале координат, а ее радиус равен 5/4. Найдите стандартную форму ее уравнения

Отвечать: Нам нужно найти стандартную форму окружности, где заданный радиус равен \(r = \displaystyle \frac{5}{4}\), а заданный центр - \((\displaystyle 0, 0)\).

Уравнение окружности в стандартной форме имеет следующую структуру:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

где \(x_0\) и \(y_0\) - соответствующие координаты x и y центра, а \(r\) - радиус. Таким образом, для полного определения стандартной формы окружности нам нужно лишь четко определить центр и радиус и подставить их в приведенную выше формулу.

В данном случае из предоставленной информации мы уже знаем, что \(x_0 = \displaystyle 0\) и \(y_0 = \displaystyle 0\), и \(r = \frac{5}{4}\). Подставляя эти данные, получаем:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\left(\frac{5}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \]

На этом расчеты завершены. Мы выяснили, что уравнение окружности в стандартной форме имеет вид \(\displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \)

Другие калькуляторы окружностей

Окружности представляют собой один из ключевых элементов алгебры, но это выходит далеко за ее рамки. Окружности и их симметрия способствуют развитию большинства областей науки.

Мы много знаем об окружностях, знаем, как вычислить их площади и окружности и мы знаем, как справиться с углы и преобразования углов , а также заниматься отраслевые направления и их интерпретация.