Подробнее об этом Калькулятор обратимой матрицы с шагами

Понятие обратной матрицы будет появляться во многих контекстах алгебры. Во-первых, для матриц идея состоит в том, чтобы иметь возможность работать с ними так же, как с числами. И на самом деле есть разумные операции над суммой , вычитание и умножение матриц .

А как же "деление" матриц? Когда у нас есть число, например, 3, я могу определить (мультипликативное) обратное этому числу, которое я мог бы записать как \(3^{-1}\) или, что более часто, пишется как \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

Одним из важнейших свойств этой инверсии является то, что при умножении на исходное число получается 1, это \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\).

Как определить и обратимую матрицу

• Найдите, что его определитель отличается от нуля
• Получите его рядно-кулисная форма и получить диагональную матрицу без нулей
• Найдите, что RREF матрицы это личность

Как определить обратную матрицу?

Для матриц роль "1" играет единичная матрица \(I\), и, учитывая матрицу \(A\), мы будем говорить, что \(A^{-1}\) является обратной матрицей \(A\). если \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\).

Другими словами, матрица, обратная данной матрице \(A\), является матрицей, обладающей тем свойством, что умножение этой матрицы на исходную , приводит к единичной матрице I.

Как вычислить обратную матрицу?

Существует множество различных способов вычисления обратной матрицы \(A\). Одним из наиболее часто используемых методов является сопряженная формула , который основан на вычислителе целой кучи определителей подматриц, полученных удалением одной строки и одного столбца \(A\).

Обратите внимание, что этот обратный калькулятор также дает вам возможность вычислить обратное, используя метод приведения Гаусса к рассчитать сокращенную форму эшелона строки дополненной матрицы.

Существует также метод поворота для преобразования исходной матрицы \(A\) в тождество с использованием элементарных матриц, при этом отслеживая умножение этих элементарных матриц, которое оказывается обратным.

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

Существуют также методы обратимости, основанные на некоторых разложениях, и, в конечном счете, матрицы с определенной полезной структурой могут быть обработаны быстрее с точки зрения нахождения их обратной с помощью специализированных методов, применимых только к определенным структурам.

Какова формула обратной матрицы?

Используя сопряженную формулу, мы находим, что формула обратной матрицы \(A\) имеет вид:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

На первый взгляд это выглядит просто! Но это не так много, когда размер матрицы большой. Действительно, приведенная выше формула говорит вам, что для того, чтобы найти обратную, вам нужно вычислить определитель матрицы, а также вам нужно вычислить сопряженную матрицу.

В отличие от того, что может показаться на первый взгляд, это может быть очень трудоемким, поскольку размер матрицы большой (например, \(n > 4\)). Итак, хорошо, что у нас компактная формула, но это не обязательно означает, что она не будет трудоемкой.

Как можно инвертировать матрицу 2x2?

Во-первых, вы должны убедиться, что \(\det(A) \ne 0\). Предположим, что у нас есть матрица 2x2, мы будем использовать формулу сопряжения. Позволять

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

поэтому, используя формулу сопряжения, мы получим

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Для общей матрицы 2x2 \(A\) ее определитель равен

\[ \det(A) = ad - bc\]

Кроме того, кофакторная матрица

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Итак, теперь нам нужно транспонировать матрицу \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Итак, наконец, у нас есть формула для обратного:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Достаточно легко, да? Вы хотите попробовать для 3x3?

Как найти обратную матрицу 3x3?

Первое требование, как и для всех матриц, состоит в том, чтобы вычислить определитель и убедиться, что \(\det(A) \ne 0\). Затем нам нужно вспомнить общую сопряженную формулу

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

где \(C\) — матрица кофакторов. Если бы вы написали это явно, вы бы получили что-то вроде этого: для \(A\) общая матрица 3x3:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

мы бы получили

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Для общей матрицы 3x3 \(A\) ее определитель равен

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

Кроме того, кофакторная матрица

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

Итак, теперь нам нужно транспонировать матрицу \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

Итак, наконец, у нас есть формула для обратного:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

Готовы это запомнить? Конечно нет. Не то, чтобы вы должны, на самом деле. Это всего лишь тизер того, насколько сложно становится, когда вы пытаетесь получить общую формулу для простой матрицы 3x3. Это становится очень грязным и довольно бесполезным для \(n > 3\).

Таким образом, гораздо практичнее применить набор шагов для нахождения обратного:

Какие шаги нужно выполнить, чтобы вычислить обратную матрицу?

Шаг 1: Вычислите определитель заданной матрицы A. Обратите внимание, что это может потребовать вычислений для больших матриц, поэтому используйте для вычисления определителя строку/столбец с наибольшим количеством нулей.

Шаг 2: Вычислите матрицу кофакторов, связанную с матрицей A. Вам нужно вычислить ее компонент за компонентом, вычислив определитель подматрицы, полученный путем удаления строки i и столбца j, умноженный на знак \((-1)^{i+j}\). Опять же, при вычислении вспомогательных определителей убедитесь, что вы выбрали строку/столбец с наибольшим количеством нулей.

Шаг 3: Получив определитель исходной матрицы и матрицу кофакторов, разделите каждый компонент матрицы кофакторов на определитель, и в результате получится обратная матрица.

Как использовать этот обратный калькулятор

1. Укажите размер матрицы
2. Введите числа, определяющие матрицу
3. Выберите метод, который вы предпочитаете использовать для вычисления обратного: "Сопряженная формула" или "Эшелонная форма с уменьшенной строкой".
4. Нажмите "Рассчитать инверсию".

Пример: вычисление обратной заданной матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Найдите его обратную по формуле сопряжения.

Отвечать: Нам нужно вычислить обратную матрицу \(3 \times 3\), которая была предоставлена.

Шаг 1: вычислить определитель матрицы

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Так как \(\det(A) = 2 \ne 0\), мы заключаем, что матрица обратима, и мы можем продолжить вычисление обратной данной матрицы \(A\).

Шаг 2: вычислить матрицу кофакторов

Сначала мы вычисляем матрицу миноров. Имеем, что по определению матрица миноров \(M\) определяется формулой

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

где в данном случае \( A^{i,j}\) — это матрица \(A\) после удаления строки \(i\) и столбца \(j\).

Следовательно, и на основе матрицы \(A\) при условии, что мы получаем следующие коэффициенты матрицы миноров:

Для \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

Для \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Для \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Для \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

Для \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Для \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

Подводя итог, матрица несовершеннолетних выглядит следующим образом:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить элементы матрицы кофакторов \(C\), используя формулу

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Приведенную выше формулу можно использовать напрямую, поскольку миноры уже известны. Мы получаем

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

Подводя итог, матрица кофакторов:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Шаг 3: вычислить сопряженную матрицу из матрицы кофакторов

Теперь нам нужно просто транспонировать матрицу кофакторов, которую мы нашли, чтобы вычислить сопряженную матрицу. Мы получаем:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Шаг 4: Вычислите обратное из матрицы кофакторов

Наконец, нам нужно умножить \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) на каждый компонент сопряженной матрицы. Итак, мы получаем:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление обратной матрицы \(A\).