Подробнее об этом калькуляторе сопряженных матриц.

Так же, как и кофакторы, присоединенная матрица тесно связана с обратной матрицей. Действительно, обратная матрица и присоединенная матрица очень похожи.

Справедливости ради стоит отметить, что понятие сопряжения матрицы играет очень важную роль в высшей математике (где вместо матриц мы имеем дело с линейными операторами). Но в математике в колледже единственный раз, когда вы, вероятно, наткнетесь на сопряженное, это когда вы вычислить обратную матрицу используя формулу сопряжения.

Как найти сопряжение матрицы?

Во-первых, с точки зрения того, как вычисляется сопряженная матрица, давайте вспомним матрица миноров который вычисляется путем вычисления определителя подматриц, образованных удалением i-й строки и j-го столбца данной матрицы \(A\).

Итак, несовершеннолетние были определены как:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Как добраться до матрицы кофакторов?

матрица кофакторов , \(C\) получается из миноров добавлением определенных "признаков" и определяется как:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

Наконец, как добраться до присоединенной матрицы? Что такое формула сопряжения?

Простой! Как только у вас есть рассчитанная матрица кофакторов уже, вам нужно транспонировать матрицу чтобы получить сопряженное. Конкретно:

\[ adj(A) = C^T \]

Итак, чтобы облегчить запоминание, мы разбили формулу сопряжения на 3 этапа: сначала вы вычисляете матрицу миноров, затем вычисляете кофакторы, а затем переставляете кофакторы, чтобы получить сопряженное.

Сопряженное и транспонированное одно и то же?

Хотя сопряженная включает в себя транспонирование матрицы, в общем случае сопряженная и транспонированная матрицы отличаются друг от друга.

Как найти сопряженную матрицу 4x4 или больше?

Процесс нахождения сопряженного может быть численно обширным, учитывая, что вам нужно вычислить субдетерминанты \(n^2\), которые могут быстро расти с \(n \ge 4\).

Пример расчета сопряженной матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Вычислите соответствующую сопряженную матрицу \(adj A\).

Решение:

Нам нужно вычислить сопряженную матрицу предоставленной матрицы \(3 \times 3\):

Шаг 1: вычислить матрицу кофакторов

Сначала мы вычисляем матрицу миноров. Имеем, что по определению матрица миноров \(M\) определяется формулой

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

где в данном случае \( A^{i,j}\) — это матрица \(A\) после удаления строки \(i\) и столбца \(j\).

Следовательно, и на основе матрицы \(A\) при условии, что мы получаем следующие коэффициенты матрицы миноров:

Для \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Для \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Для \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Для \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Для \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Подводя итог, матрица несовершеннолетних выглядит следующим образом:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить элементы матрицы кофакторов \(C\), используя формулу

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Приведенную выше формулу можно использовать напрямую, поскольку миноры уже известны. Мы получаем

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

Подводя итог, матрица кофакторов:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: вычислить сопряженную матрицу из матрицы кофакторов

Теперь нам нужно просто транспонировать матрицу кофакторов, которую мы нашли, чтобы вычислить сопряженную матрицу. Мы получаем:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление сопряженной матрицы.