Калькулятор матричного RREF

Сокращенная форма эшелона строк — один из самых полезных процессов в линейной алгебре, и он может служить нескольким целям.

RREF обычно достигается с помощью процесса исключения Гаусса. С точки зрения приложений, форма уменьшенного эшелона строк может использоваться для решать системы линейных уравнений , к вычислить обратную матрицу , или найти полезные матричные разложения

Что такое rref матрицы?

Идея эшелонированной формы строк состоит в систематическом построении эквивалентной матрицы с использованием обратимых элементарных матриц, чтобы получить эшелонированную форму строк, которая является обобщенной формой треугольной формы.

Используя метод сокращения строк, мы можем получить матрицу в форме эшелона строк, используя ненулевые повороты .

Преимущества RREF

• Этот калькулятор RREF преобразует матрицу в форму, полезную для многих целей.
• Например, если конечной формой RREF данной матрицы является личность , матрица обратимая
• Увеличение исходной матрицы, нахождение формы RREF позволяет построить обратную, используя элементарные матрицы
• Он обеспечивает систематический способ решать системы линейных уравнений .

Как рассчитать сокращенную форму эшелона строк?

Существуют различные подходы, которые возможны и которые вы можете использовать. Но основная идея состоит в том, чтобы использовать ненулевые опорные точки для исключения всех значений в столбце, которые находятся ниже ненулевой опорной точки, что является основой процедуры, называемой устранением Гаусса.

Одним из важнейших элементов этого сокращения является знание того, находится ли матрица в rref, поэтому мы останавливаем процесс, когда это происходит.

Необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1 : проверьте, находится ли матрица уже в форме сокращенного эшелона строк. Если это так, то остановитесь, мы закончили.

Шаг 2 : Посмотрите на первую колонку. Если значение в первой строке не равно нулю, используйте его как точку опоры. Если нет, проверьте столбец на наличие ненулевого элемента и, если необходимо, переставьте строки так, чтобы стержень находился в первой строке столбца. Если первый столбец равен нулю, переходите к следующему столбцу справа, пока не найдете ненулевой столбец.

Шаг 3 : Используйте опорную точку, чтобы исключить все ненулевые значения ниже опорной.

Шаг 4 : нормализовать значение пивота до 1.

Шаг 5 : Используйте опорную точку, чтобы исключить все ненулевые значения над опорной точкой.

Шаг 6 : После этого, если матрица все еще не имеет форму строки-эшелона, переместите один столбец вправо и одну строку вниз, чтобы найти следующую опорную точку.

Шаг 7 : Повторите процесс, как описано выше. Ищите опору. Если ни один элемент не отличается от нуля в новой опорной позиции или ниже, найдите справа столбец с ненулевым элементом в опорной позиции или ниже и при необходимости переставьте строки. Затем удалите значения ниже опорной точки.

Шаг 7 : Продолжайте процесс поворота до тех пор, пока матрица не примет уменьшенную форму строки-эшелона.

Как рассчитать уменьшенный эшелон ряда на калькуляторе?

Не все калькуляторы будут проводить исключение Гаусса-Жордана, но некоторые делают это. Как правило, все, что вам нужно сделать, это ввести соответствующую матрицу, для которой вы хотите привести форму RREF.

Обратите внимание, что для того, чтобы иметь форму эшелона с уменьшенной строкой, вам также необходимо иметь нули НАД опорной точкой. Если вам это не нужно, вы можете использовать это Калькулятор формы эшелона строки , который не уменьшает значения выше точки разворота

Этот калькулятор позволит вам определить матрицу (с любым выражением, например, с дробями и корнями, а не только с числами), а затем будут показаны все шаги процесса, как прийти к окончательной форме сокращенного эшелона строк.

Большинство калькуляторов будут использовать элементарные операции со строками для выполнения вычислений, но наш калькулятор покажет вам точно и подробно, какие элементарные матрицы используются на каждом шаге.

Как вы решаете для решения RREF

Это немного зависит от контекста, но один из способов - начать с системы линейных уравнений, представить ее в матричной форме, и в этом случае решение RREF при увеличении правыми значениями.

Другой вариант — начать с матрицы и дополнить ее единичной матрицей, и в этом случае решение RREF приведет к обратной исходной матрице.

Пример формы уменьшенного эшелона строк

Вопрос: Предположим, что у вас есть следующая матрица:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Найдите его редуцированную эшелонированную форму, указав все шаги и соответствующие им элементарные матрицы.

Отвечать: Предоставленная матрица представляет собой матрицу \(3 \times 3\).

Нам нужно найти редуцированную ступенчатую форму строк этой матрицы.

Шаг 1 : Операции, используемые для уменьшения столбца \(1\):
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Шаг 2 : Операция, используемая для уменьшения столбца \(1\):
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Для столбца \(2\) все элементы ниже точки поворота уже равны нулю, поэтому нам не нужно исключать их.

Шаг 3 : Операции, используемые для уменьшения столбца \(2\) над сводной точкой:
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Шаг 4 : Для столбца \(3\) мы не находим опорную точку, потому что столбец равен нулю, поэтому мы переходим к следующему столбцу.

Отсюда делаем вывод, что матрица в форме RREF:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]