Калькулятор формы эшелона строки

Эшелонированная форма строк — это тип структуры, которую может иметь матрица, которая выглядит как треугольная, но является более общей, и вы можете использовать идею эшелонированной формы строк для неквадратных матриц.

Этот калькулятор формы эшелона строк возьмет предоставленную вами матрицу и применит исключение Гаусса, показывая все шаги с указанием используемых элементарных матриц.

Что такое эшелонированная форма строки?

Эшелонная форма строк в матрице возникает, если первый ненулевой член в строке (иногда называемый ведущим членом) всегда находится слева от первого ненулевого члена, который находится ниже. Эта идея помогает нам изобразить соответствующие опережающие члены рядов в виде эшелонированной последовательности в случае перевернутой лестницы.

Что вы можете использовать в виде эшелонированной строки матричной формы?

• Это может упростить вычисление определителей
• Это может помочь вам решать системы линейных уравнений
• Это может облегчить некоторые матричные разложения

Как рассчитать форму эшелона строки?

Этот калькулятор формы эшелона может служить многим целям, и возможны разные подходы.

Но основная идея состоит в том, чтобы использовать ненулевые опорные точки для исключения всех значений в столбце, которые находятся ниже ненулевой опорной точки, процесс, иногда известный как исключение Гаусса. Необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1 : проверьте, находится ли матрица уже в форме эшелона строк. Если это так, то остановитесь, мы закончили.

Шаг 2 : Посмотрите на первую колонку. Если значение в первой строке не равно нулю, используйте его как точку опоры. Если нет, проверьте столбец на наличие ненулевого элемента и, если необходимо, переставьте строки так, чтобы стержень находился в первой строке столбца. Если первый столбец равен нулю, переходите к следующему столбцу справа, пока не найдете ненулевой столбец.

Шаг 3 : Используйте опорную точку, чтобы исключить все ненулевые значения ниже опорной.

Шаг 4 : После этого, если матрица все еще не имеет форму строки-эшелона, переместите один столбец вправо и одну строку вниз, чтобы найти следующую опорную точку.

Шаг 5 : Повторите процесс, как описано выше. Ищите опору. Если ни один элемент не отличается от нуля в новой опорной позиции или ниже, найдите справа столбец с ненулевым элементом в опорной позиции или ниже и при необходимости переставьте строки. Затем удалите значения ниже опорной точки.

Шаг 6 : Продолжайте процесс поворота до тех пор, пока матрица не примет форму строки-эшелона.

Как рассчитать эшелон строки на калькуляторе?

Не все калькуляторы будут проводить исключение Гаусса-Жордана, но некоторые делают это. Как правило, все, что вам нужно сделать, это ввести соответствующую матрицу, для которой вы хотите ввести Форма RREF .

Этот калькулятор позволит вам определить матрицу (с любым выражением, например, с дробями и корнями, а не только с числами), а затем будут показаны все шаги процесса, как прийти к окончательной форме сокращенного эшелона строк.

Этот калькулятор работает как калькулятор элементарных операций со строками , и он покажет вам, какие именно элементарные матрицы используются на каждом шаге.

Пример: Расчет ступенчатой формы матрицы строк

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Вычислите его строчно-эшелонную форму, показав ступени.

Отвечать: Предоставленная матрица представляет собой матрицу \(3 \times 3\).

Нам нужно найти ступенчатую форму строки этой матрицы.

Шаг 1 : Операции, используемые для уменьшения столбца \(1\):
\((1) -\frac{3}{2} R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) -\frac{1}{2} R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Шаг 2 : Операция, используемая для уменьшения столбца \(2\):
\((1) -\frac{1}{5} R_{ 2} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{2}{5} \end{bmatrix} \)

и мы пришли к ступенчатой форме строк данной матрицы.

Отсюда заключаем, что матрица в виде эшелона строк имеет вид:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]