Доверительный интервал для среднего ответа

Доверительный интервал для среднего ответа в контексте Линейная регрессия соответствует рассчитанному доверительному интервалу для среднего прогнозируемого ответа \(\mu_{Y|X_0}\) для заданного значения \(X = X_0\).

Таким образом, этот доверительный интервал дает нам достоверный набор, в котором мы ожидаем найти средний ответ \(Y\) для фиксированного значения предиктора \(X = X_0\)

Как рассчитать этот доверительный интервал?

Во-первых, нам необходимо узнать среднеквадратичную ошибку (\(\hat{\sigma}^2\)), для чего используется следующая формула:

\[\hat{\sigma}^2 = \displaystyle \frac{SSE}{n-2}\]

Среднеквадратическая ошибка — это тип стандартной ошибки, который дает вам изменчивость переменной отклика для разных моментов времени, которые вы оцениваете в \(X = X_0\), и используется в качестве основы для доверительного интервала.

Другими словами, эта стандартная ошибка играет ту же роль, что и стандартное отклонение играет на расчет доверительного интервала для среднего значения \(\mu\).

Формула для доверительного интервала формула для среднего отклика

Хорошо, теперь у нас есть все необходимое, поэтому перейдем к формуле доверительного интервала: На основе этой информации доверительный интервал \(1-\alpha)\times 100 \)% для среднего отклика \(\mu_{Y|X_0}\) определяется по формуле

\[CI = \displaystyle \left( \hat\mu_{Y|X_0} - t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) }, \hat\mu_{Y|X_0} + t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) } \right)\]

Как и в случае с большинством доверительных интервалов (хотя и не со всеми), интервал симметричен относительно центральной точки, которая в данном случае является фактической прогнозируемое значение Y для \(X = X_0\).

Это центральное значение доверительного интервала находится путем простой подстановки значения \(X = X_0\) в расчетную модель регрессии.

Дополнительные калькуляторы регрессии

Важно отметить, что здесь мы показали, как рассчитать доверительный интервал среднего ответа прогноза регрессии. Если вас интересует доверительный интервал для самого прогноза, используйте вместо этого это Калькулятор интервала прогнозирования для регрессионных прогнозов .

Естественно, если мы говорим о регрессии, вы можете это проверить Калькулятор линейной регрессии в случае, если у вас есть один предиктор, или это Калькулятор множественной линейной регрессии когда у вас много предикторов.

Одним из интересных приложений является случай Полиномиальная регрессия , в котором есть одна зависимая переменная Y и один предиктор X, но на самом деле мы также используем степени X в качестве предикторов, поэтому технически это множественная регрессия.

Регрессионный анализ действительно важен в статистике, и мы не можем переоценить его важность. Теперь, крайне важно убедиться, что найденные результаты регрессии являются действительными, по этой причине настоятельно рекомендуется анализ остатков регрессии , поскольку они будут иметь решающее значение при оценке того, выполняются ли допущения регрессии.