वर्ग कैलकुलेटर को पूरा करना

वर्ग को पूरा करने का क्या अर्थ है?खैर, विचार किसी चीज का वर्ग है।जब भी आपके पास फॉर्म की एक द्विघात अभिव्यक्ति होती है \(ax^2 + bx + c\), तो आप इसे "किसी चीज के वर्ग" के रूप में रखना चाहेंगे।

अभिव्यक्ति का विश्लेषण करते हुए, एकमात्र वर्ग जिसे आप देखते हैं कि क्या भाग \(a x^2\), जिसमें \(x\) का वर्ग होता है, लेकिन फिर आपके पास अन्य चीजें हैं जो वर्ग को अलग करती हैं।गणितीय रूप से, फॉर्म की एक द्विघात अभिव्यक्ति को हमेशा "xyzc >>" किसी चीज़ के वर्ग "के रूप में रखना संभव है, लेकिन संभावित रूप से हमें एक स्थिर जोड़ने की आवश्यकता होगी।

कभी -कभी, यदि वह स्थिरता शून्य है, तो हमें वह मिलेगा जो एक कहा जाता है उचित चको ।

स्क्वायर को कैसे पूरा करें?वर्गों को पूरा करना, या सराफक जैसा कि यह भी ज्ञात है, बस एक द्विघात अभिव्यक्ति \(ax^2 + bx + c\) को एक साधारण अभिव्यक्ति के वर्ग के रूप में डालने की प्रक्रिया है, साथ ही संभवतः एक स्थिर।प्रक्रिया सीधी है, और इसमें विभिन्न चरण शामिल हैं।

आप स्क्वायर को कैसे पूरा करते हैं

स्टेप 1: सुनिश्चित करें कि पारित अभिव्यक्ति द्विघात है, एक गैर-शून्य गुणांक के साथ \(x^2\) शब्द को गुणा करता है।यदि ऐसा नहीं है, तो आप इस प्रक्रिया को नहीं कर सकते।

चरण दो: अब जब आपके पास एक उचित द्विघात शब्द है \(ax^2 + bx + c\), तो आपको \(a\) (वह शब्द जो << XYZ >> गुणा करता है) को कारक करने की आवश्यकता है।यदि << XYZ >>, तो आप इसे ऐसे छोड़ दें जैसे यह है।

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

चरण 3: अब हमें उस शब्द को देखना होगा जो कोष्ठक के अंदर है (या मूल शब्द अगर \(a = 1\))।एक निरंतर \(d\) के लिए देखें, हमारे पास वह \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) है।तो, हम देखते हैं कि

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

तो, ऊपर की अभिव्यक्ति में \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) शब्द \(d\) में \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) के समान है।तो वास्तव में, हम कर सकते हैं

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

इस प्रक्रिया को कहा जाता है Rayrach को rayra क rirके हल rurें या सराफक ।

वर्ग उदाहरणों को पूरा करना

अभिव्यक्ति पर विचार करें: \(2x^2 + 2x + 1\)।सबसे पहले, हम कारक 2 बाहर:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

हम या तो ऊपर दिए गए सूत्र को याद कर सकते हैं, या आप "स्क्वायर" को मजबूर करने की प्रक्रिया का पालन कर सकते हैं। मेरा मानना है कि बाद वाला सबसे अच्छा विकल्प है, क्योंकि आप निश्चित रूप से सूत्र को भूल सकते हैं, लेकिन आप एक बार प्रक्रिया को नहीं भूलेंगेआप इसे सीखते हैं। इसलिए, हम \(x\) शब्द को देखते हैं और इसके सामने 2 को मजबूर करते हैं।

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

अब, कोष्ठक में शब्द को देखें \(x\) के बाईं ओर।हम शब्द को वर्ग देते हैं और इसे जोड़ते हैं और इसे घटाते हैं: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), इसलिए अनिवार्य रूप से हम 0 जोड़ रहे हैं, इसलिए अभिव्यक्ति नहीं बदलती है:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

तो अब हम पहले तीन शब्दों को एक आदर्श वर्ग के रूप में पहचान सकते हैं, इसलिए हमें मिलता है:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

इसे क्यों कहा जाता है?

आप सोच रहे होंगे कि यह क्यों है कि वर्ग को पूरा करने की प्रक्रिया को स्क्वायर पूरा करना कहा जाता है?खैर, मैंने शुरुआत में इसका उल्लेख किया, हम जो करने की कोशिश कर रहे हैं, वह एक द्विघात अभिव्यक्ति है और इसे "किसी चीज के वर्ग" के रूप में फिर से लिखना है, और यह सही स्थिरांक जोड़कर किया जाता है ताकि हम सचमुच "वर्ग को पूरा करें"।इस स्थिरांक को जोड़ने (और घटाने) से, हमें एक आदर्श वर्ग मिलता है, साथ ही एक स्थिरांक, जो इस "किसी चीज़ के वर्ग" को खोजने की अनुमति देता है जिसे हम ढूंढ रहे थे

वर्ग को पूरा करके द्विघात समीकरणों को हल करना

दिलचस्प रूप से पर्याप्त है, वर्ग को पूरा करना एक द्विघात समीकरण को हल करने के बराबर है।वास्तव में, अगर हम हल करना चाहते हैं

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

अब हम जानते हैं कि हम प्राप्त करने के लिए वर्ग को पूरा कर सकते हैं:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

हमें लगता है कि द्विघात समीकरण को हल करना हल करने के समान है

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

तो फिर

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

इसलिए जैसा कि आप उपयोग कर सकते हैं, यदि आप एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए वर्ग को पूरा करते हैं, तो पारंपरिक द्विघात सूत्र का उपयोग करने के समान ही बिल्कुल वैसा ही है।

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