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घातीय समीकरण कैलकुलेटर

सराय: समाधान के सभी चरण दिखाते हुए इस घातीय समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करें। कृपया नीचे दिए गए फॉर्म बॉक्स में वह समीकरण लिखें जिसे आप हल करना चाहते हैं।

इस घातीय समीकरण कैलकुलेटर के बारे में अधिक जानकारी

इस कैलकुलेटर का मुख्य उद्देश्य आपके द्वारा प्रदान किए गए घातीय समीकरणों को हल करना और आपको सभी चरणों को शामिल करते हुए समाधान दिखाना है। उदाहरण के लिए, आप '9^x + 3^x = 4' जैसा समीकरण टाइप कर सकते हैं।

एक बार जब आप टाइप किए गए समीकरण से संतुष्ट हो जाते हैं, तो आप जाएं और "हल करें" पर क्लिक करें, इसलिए समाधान के चरण सभी चरणों के साथ प्रदान किए जाते हैं।

घातांकीय समीकरणों को आमतौर पर घातांक के कुछ अलग-अलग नियमों का उपयोग करके हल किया जाता है।

घातीय समीकरण क्या है

एक घातीय समीकरण, सरल शब्दों में, एक है बीजगणित समीकरण जिसमें अज्ञात (x), प्रतिपादक के रूप में प्रकट होता है। उदाहरण के लिए,

\[\displaystyle 2^x = 4 \]

एक सरल घातीय समीकरण है, क्योंकि जिस अज्ञात चर को हम (x) के लिए हल करना चाहते हैं, वह आधार 2 के साथ एक घातांक के रूप में प्रकट होता है। अब, आपके पास अधिक जटिल घातीय समीकरण हैं, जैसे कि नीचे दिया गया उदाहरण:

\[\displaystyle \cos(2^x) + e^x = 4x \]

घातांकीय समीकरणों को हल करने के चरण क्या हैं?

Letsunt 1: सुनिश्चित करें कि आप एक घातीय समीकरण से निपट रहे हैं, जिसके लिए आपको यह देखना होगा कि क्या x एक घातांक के रूप में प्रकट होता है
Their दो दो: यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि आप घातीय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। यदि नहीं, तो संभवतः आपको एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करना होगा
Theirण 3: सावधान रहें कि आपके सामने आने वाले सभी घातीय समीकरणों को हल करना आसान नहीं होगा, या हो सकता है कि आप इसे हल करने में सक्षम न हों
च ४: ४: यदि संभव हो तो मुख्य रणनीति सभी घातीय भागों को एक घातांकीय अभिव्यक्ति में समूहित करने का प्रयास करना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास \(2^x 2^y = 4\) जैसा समीकरण है, तो आप इसे \(2^{x+y} = 2^2\) के रूप में फिर से लिखना चाहेंगे।
च ५: ५: जो कुछ x (और सभी अज्ञात) पर निर्भर करता है उसे एक तरफ रखें और बाकी को दूसरी तरफ रखें
च viry: 6: फिर, आप सभी घातांकीय भागों को एक साथ रखने का प्रयास कर रहे हैं, ताकि आप घातांकों को बराबर करने का प्रयास करें

मुख्य विचार यह है कि जितना संभव हो सके प्रतिपादकों का समूह बनाया जाए ताकि, जैसा कि आप कल्पना कर सकें, हम आधार को समाप्त कर सकें। तो दूसरे शब्दों में, घातीय समीकरण को हल करने की रणनीति वास्तव में इसके घातीय भाग से छुटकारा पाना है।

आप घातीय समीकरण कैसे ज्ञात करते हैं?

घातांकीय समीकरण विभिन्न बीजगणित सेटिंग्स में स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, जनसंख्या मॉडल के साथ व्यवहार करते समय वे बहुत आम हैं वृद्धि दरें , या रेडियोधर्मी क्षय और के बारे में अनुप्रयोग समस्याओं से निपटते समय हाफ लाइफ ।

आमतौर पर, संदर्भ यह तय करेगा कि घातांकीय समीकरण को हल करते समय आप किस प्रकार का आधार और घातांक पाएंगे या उसका उपयोग करेंगे। उदाहरण के लिए, आपके पास कुछ सूक्ष्मजीवों की स्थिति हो सकती है जो हर घंटे खुद को दोहराना शुरू कर देते हैं, और आप जानना चाहेंगे कि सूक्ष्मजीवों की आबादी 1,000,000 तक पहुंचने में कितने घंटे लगेंगे।

इस संदर्भ में, यह समझना कठिन नहीं है कि \(x\) घंटों के बाद जनसंख्या \(2^x\) है, और फिर समस्या की सेटिंग से, हम चाहते हैं प्रश्न हल करें :

\[\displaystyle 2^x = 1,000,000 \]

घातांकीय समीकरणों के मूल उपयोग क्या हैं?

1 उपयोग: घातांकीय वृद्धि के आधार पर जनसंख्या वृद्धि का मॉडलिंग करना
उपयोग 2: उदाहरण के लिए, घातीय क्षय की मॉडलिंग और आधे जीवन की गणना, जो रेडियोधर्मी सामग्रियों द्वारा प्रदर्शित की जाती है
उपयोग 3: निरंतर कंपाउंडिंग के लिए वित्तीय अनुप्रयोग

बीजगणित में घातीय समीकरणों से जुड़े मुख्य विचार क्षय में घातीय वृद्धि हैं जो ऊपर विस्तृत उदाहरणों में देखे गए हैं।

आप दो बिंदुओं वाला एक घातांकीय फलन कैसे खोजते हैं?

घातांकीय फलन महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे घातांकीय समीकरण में पाए जाने वाले मुख्य घटक हैं। आप इसका उपयोग कर सकते हैं तंग दो बिंदुओं से फ़ंक्शन ढूँढ़ने के लिए।

घातीय फ़ंक्शन को निर्धारित करने के अन्य तरीके हैं, अर्थात्, प्रारंभिक मूल्य और विकास दर के दृष्टिकोण का उपयोग करना, इस मामले में आप उपरोक्त लिंक से उसी कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

इसका होना निश्चित रूप से उपयोगी है चरणों के साथ घातीय समीकरण कैलकुलेटर , इसलिए समीकरण को हल करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है के अनुमान को खत्म करने के लिए, हालांकि कई बार आप पाएंगे कि सभी समीकरणों को हमारे द्वारा ज्ञात तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण: एक सरल घातीय समीकरण की गणना

हल करें: \(2^{2x+1} = 4\)

तमाम: निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[2^{2x+1}=4\]

हम यह देखते हैं:

\( \displaystyle 2^{2x+1}=4\)

We need to apply the logarithmic function \(\log_{ 2}(\cdot)\), so we get

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \log_{ 2}\left(2^{2x+1}\right)=\log_{ 2}\left(4\right)\)

so then we get

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle 2x+1 =\log_{ 2}\left(4\right)=2\)

\(x\) को बायीं ओर और दायीं ओर रखने पर हमें स्थिरांक प्राप्त होता है

\[\displaystyle 2x = 1\]

फिर, समीकरण के दोनों पक्षों को \(2\) से विभाजित करके \(x\) को हल करने पर, निम्नलिखित प्राप्त होता है

\[\displaystyle x=\frac{1}{2}\]

इसलिए, हम पाते हैं कि सहायक समीकरण का एक वास्तविक समाधान है, जो है: \(x = \frac{1}{2}\)

इस मान को मूल समीकरण में वापस जोड़ने से पुष्टि होती है कि यह एक समाधान है। जो गणना को समाप्त करता है।

उदाहरण: प्रतिस्थापन के माध्यम से घातांकीय समीकरणों को हल करना

निम्नलिखित को हल करें: \(9^x + 3^x = 4\)

सता: हमारे पास निम्नलिखित समीकरण है:

\[9^x+3^x=4\]

तो फिर:

\( \displaystyle 9^x+3^x=4\)

हमें एक सामान्य घातीय आधार \(3\) सेट करने की आवश्यकता है, हमें \(9^x=3^{2x}\) मिलता है, इसलिए समीकरण बन जाता है

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle 3^{2x}+3^x-4=0\)

हम प्रतिस्थापन को \(u = 3^x\) परिभाषित करते हैं, और हमें वह \(3^{2x} = \left(3^x\right)^{ 2} = u^2\) मिलता है, और हमें मिलता है

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle u^2+u-4=0\)

चर \(u\) में इस तर्कसंगत समीकरण को हल करके, और फिर उस \(u = 3^x\) का उपयोग करके, हमें समाधान मिलता है \[x_1=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{4i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]
\[x_2=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\]\[ = ... \, \frac{-i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{3i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{5i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]

इसलिए, दिए गए समीकरण के लिए \(x\) को हल करने से \(K_1, K_2\) मनमाने पूर्णांक स्थिरांक के लिए \(x=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)},\,\,x=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\) का समाधान प्राप्त होता है।

वास्तविक समाधान

दिए गए समीकरण में जटिल और वास्तविक दोनों समाधान पाए गए हैं। पहचाना गया वास्तविक समाधान \(x=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\) है।

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