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आधे जीवन की अवधारणा के पीछे का विचार यह पता लगाना है कि किसी फ़ंक्शन के लिए उसके मूल्य को आधा करने में कितना समय लगता है।

यह अवधारणा दृढ़ता से प्रेरित है रेडियोधर्मी क्षय , जिसमें रेडियोधर्मी सामग्री का तेजी से क्षय होता है, और संपत्ति है कि प्रत्येक विशिष्ट रेडियोधर्मी सामग्री के लिए, इसकी सामग्री हर निश्चित संख्या में आधे से कम हो जाती है। समय की अवधि आधा जीवन है

सामान्य तौर पर, यदि हम एक घातीय क्षय कार्य पर विचार करते हैं:

\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]

हम चाहते हैं कि \(f(0) = A_0\) देख सकें, और हम \(h\) खोजना चाहते हैं ताकि \(f(h) = A_0/2\)। इसके लिए, हम देखते हैं कि

\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]

क्या होगा यदि आपको दो बिंदुओं से घातीय फ़ंक्शन ढूंढना है जो इसे गुजरता है?

उस स्थिति में, हमें हल करना होगा:

\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]

और \(A\) और \(k\) के लिए हल करने के लिए, और फिर आधा जीवन \(h\) खोजने के लिए उपरोक्त सूत्र को सीधे लागू करें।

आप आधे जीवन की गणना कैसे करते हैं?

अर्ध-जीवन की गणना बीजगणितीय रूप से यह पता लगाकर की जाती है कि किसी फ़ंक्शन को आधे से कम करने में कितना समय लगता है, जैसा कि ऊपर के अनुभाग में दिखाया गया था। अधिकांश कार्यों के लिए, फ़ंक्शन को आधे से कम करने के लिए आवश्यक समय प्रारंभिक बिंदु पर निर्भर करता है।

लेकिन घातीय क्षय वाले कार्यों के लिए, फ़ंक्शन को अपना मान आधे से कम करने में लगने वाला समय प्रारंभिक बिंदु से स्वतंत्र होता है।

आधे जीवन का उपयोग करके आप क्षय की गणना कैसे करते हैं?

स्वाभाविक रूप से, क्षय दर और एक घातीय क्षय कार्य स्वयं आधे जीवन से कसकर संबंधित हैं। वास्तव में, मान लें कि आधा जीवन \(h\) ज्ञात है, और \(A_0\) प्रारंभिक राशि है (\(t = 0\) पर)। फिर, घातीय क्षय फ़ंक्शन को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]